Закон Рэлея — Джинса

Зако́н Рэле́я — Джи́нса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения $u(\omega ,T)$ и излучательной способности $\epsilon (\omega ,T)$ абсолютно чёрного тела с температурой $T$. Получен Рэлеем и Джинсом в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе). Здесь $\omega$ — частота излучения, но в качестве аргумента могут выбираться и другие параметры, например длина волны.

Правильно описывает низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводит к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывающему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче. Универсальным выражением для спектральной плотности является формула Планка, в пределе $\omega \to 0$ превращающаяся в закон Рэлея — Джинса.

Вывод формулы Рэлея — Джинса

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которым на каждое электромагнитное колебание приходится, в среднем, энергия $kT$ ($k$ - постоянная Больцмана), состоящая из двух частей $kT/2$. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная.

Само по себе равновесное излучение в полости внутри абсолютно чёрного тела можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве в диапазоне частот $\omega \dots \omega +\mathrm{d}\omega$ даётся выражением

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{2{\pi }^2{v}^3}$.

Зависимость излучательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Рэлея и Джинса (черный цвет)

Скорость волны $v$ следует положить равной скорости света $c$. Так как в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, выражение вдобавок необходимо помножить на два:

$\mathrm{d}{n}_{\omega }=\frac{{\omega }^2\mathrm{d}\omega }{{\pi }^2{c}^3}$.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию $\bar{E}=kT$. При этом плотность энергии, приходящаяся на интервал частот $\mathrm{d}\omega$, составит

$u(\omega ,T)\mathrm{d}\omega =\bar{E}\mathrm{d}{n}_{\omega }=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\mathrm{d}\omega$,

и, следовательно:

$u(\omega ,T)=\frac{{\omega }^{2}kT}{{\pi }^2{c}^3}$.

Можно перейти от аргумента «частота $\omega$» к аргументу «длина волны $\lambda$» ($\omega =2\pi c/\lambda$):

$u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)\cdot |\frac{d\omega }{d\lambda }|=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\cdot \frac{2\pi c}{{\lambda }^2}=\frac{8\pi kT}{{\lambda }^4}$.

Также можно перейти от аргумента «частота $\omega$» к аргументу «частота $\nu$» в герцах ($\omega =2\pi \nu$):

$u(\nu ,T)=u(\omega ,T)\cdot |\frac{d\omega }{d\nu }|=kT\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}\cdot 2\pi =\frac{8\pi {\nu }^{2}kT}{c^3}$.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ $u$ снабжают значком: $u_{\omega }$, $u_{\nu }$ или $u_{\lambda }$.

Зная связь излучательной способности абсолютно чёрного тела $\epsilon (\omega ,T)$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения $\epsilon (\omega ,T)=\frac{c}{4}u(\omega ,T)$, $\epsilon (\lambda ,T)=\frac{c}{4}u(\lambda ,T)$ и $\epsilon (\nu ,T)=\frac{c}{4}u(\nu ,T)$, находим:

$\epsilon (\omega ,T)=\frac{{\omega }^{2}kT}{4{\pi }^2{c}^2}$.

$\epsilon (\lambda ,T)=\frac{2\pi ckT}{{\lambda }^4}$,

$\epsilon (\nu ,T)=\frac{2\pi {\nu }^{2}kT}{c^2}$.

Зная связь энергетической яркости абсолютно чёрного тела $B(\omega ,T)$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения $B(\omega ,T)=\frac{c}{4\pi }u(\omega ,T)$, $B(\lambda ,T)=\frac{c}{4\pi }u(\lambda ,T)$ и $B(\nu ,T)=\frac{c}{4\pi }u(\nu ,T)$, находим:

$B(\omega ,T)=\frac{{\omega }^{2}kT}{4{\pi }^3{c}^2}$.

$B(\lambda ,T)=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}$,

$B(\nu ,T)=\frac{2{\nu }^{2}kT}{c^2}$.

Выражения для $u(\omega ,T)$ и $\epsilon (\omega ,T)$ называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Шаблон:Main Формулы для $u(\omega ,T)$ и $\epsilon (\omega ,T)$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах теоретическая и экспериментальная кривые резко расходятся. Более того, интегрирование $u(\omega ,T)$ по $\omega$ в пределах от 0 до $\mathrm{\infty }$ для равновесной плотности энергии $u(T)$ даёт бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях $u(T)$. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции $u(\omega ,T)$, соответствующей опытным данным, в дальнейшем названной формулой Планка.