Абсолютно чёрное тело

Абсолю́тно чёрное те́ло (сокращëнно АЧТ) — физическое тело, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах.

Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций.

Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Более того, как следует из закона Кирхгофа для теплового излучения, АЧТ обладает максимально возможной излучательной способностью. Спектр излучения абсолютно чёрного тела непрерывен и диктуется только температурой. Длина волны спектрального максимума для АЧТ определяется законом смещения Вина.

Важность абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план.

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка

$R_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1}$,

где $T$ — температура, $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $k$ — постоянная Больцмана, $\nu$ — частота электромагнитного излучения.

Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре наружных слоёв Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело).

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Практическая модель абсолютно чёрного тела

Модель абсолютно чёрного тела

Для физических экспериментов и обсуждений, касающихся проблематики абсолютно чёрного тела, используют модельный объект. Он представляет собой кусок непрозрачного материала, имеющий замкнутую полость с изотермическими стенками, к которой ведёт небольшое отверстие. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, наличие отверстия для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение.)

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению).

Примеры чёрных тел и чернотельного излучения

Близким к единице коэффициентом поглощения обладают сажа и платиновая чернь. Сажа поглощает до 99 % падающего излучения (то есть имеет альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.

Наиболее чёрное из всех известных веществ — изобретённая в 2014 году субстанция Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.

Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру $T_{\text{BH}}=\frac{h{c}^3}{16{\pi }^{2}kGM}$, где $G$ — гравитационная постоянная, а $M$ — масса чёрной дыры.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты ($R_{\nu }(\nu )$, Вт/м²/Гц) или длины волны ($R_{\lambda }(\lambda )$, Вт/м²/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формулой $u=4R/c$ (где $c$ — скорость света) объёмная спектральная плотность излучения (Дж/м³/Гц для $u_{\nu }(\nu )$ или Дж/м³/м для $u_{\lambda }(\lambda )$).

Изначально при поиске выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы, которые дали ряд важных и верных результатов, но полностью решить проблему не позволили. В итоге анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.

Классические законы

Закон Рэлея — Джинса

Шаблон:Основная статья Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (Шаблон:Math — постоянная Больцмана, $T$ — температура):

$u_{\nu }=\frac{8\pi {\nu }^{2}kT}{c^3}$,

$u_{\lambda }=\frac{8\pi kT}{{\lambda }^4}$.

Формула соответствует эксперименту в длинноволновой области спектра.

Однако, эта формула предполагает неограниченное квадратичное возрастание спектральной плотности с частотой. На практике данный закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:

$u_{\nu }={\nu }^{3}f\left(\frac{\nu }{T}\right)$,

$u_{\lambda }={\lambda }^{-5}f\left(\frac{c}{\lambda T}\right)$,

где Шаблон:Math — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре. Установить её вид только из термодинамических соображений невозможно.

Первая формула Вина справедлива для всех частот.

Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде

${\lambda }_{max}\sim \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}{T}$,

где ${\lambda }_{max}$ отвечает максимуму функции $u_{\lambda }(\lambda )$. Также можно получить закон Стефана — Больцмана:

$J=\frac{c}{4}\int u_{\nu }d\nu \sim \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\cdot T^4$,

где $J$ — мощность излучения единицы поверхности тела. Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

$u_{\nu }=C_1{\nu }^3{e}^{-C_2\frac{\nu }{T}}$,

$u_{\lambda }=C_1{c}^4{\lambda }^{-5}{e}^{-C_2\frac{c}{\lambda T}}$,

где Шаблон:Math — константы. Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.

Квантовомеханические законы

Закон Планка

Шаблон:Основная статья По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка:

$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1},R_{\nu }=\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /kT}-1}$.

Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии $u_{\nu }$, так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения $R_{\nu }$. Это эквивалентно

$u_{\lambda }=\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1},R_{\lambda }=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$,

где те же величины представлены как зависимости от длины волны.

Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при $h\nu /kT\ll 1$.

Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные Шаблон:Math и Шаблон:Math. В результате формула второго закона Вина обретает вид

$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}(h\nu /kT\gg 1)$.

Во всех вышеприведённых выражениях через Шаблон:Math обозначена постоянная Планка.

Закон смещения Вина

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{0,002898}{T},$

где $T$ — температура в кельвинах, а ${\lambda }_{\text{max}}$ — длина волны, отвечающей максимуму $u_{\lambda }$, в метрах. Числовой множитель получается из формулы Планка.

Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).

Закон Стефана — Больцмана

Шаблон:Основная статья Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м²) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

$J=\int R_{\nu }(\nu ,T)d\nu =\sigma T^4$,

где

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}=\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}\approx 5,670400(40)\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при $T$ = 100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.

Для нечёрных тел приближённо $J=ϵ\sigma T^4$, где $ϵ$ — степень черноты. Для абсолютно чёрного тела $ϵ=1$, для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения $ϵ=\alpha =1-\rho -\tau$, где $\alpha$ — коэффициент поглощения, $\rho$ — коэффициент отражения, а $\tau$ — коэффициент пропускания. Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.

Цветность чернотельного излучения

Излучение нагретого металла в видимом диапазоне

Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:

Температурный интервал в кельвинах	Цвет
до 1000	Красный
1000—2000	Оранжевый
2000—3000	Жёлтый
3000—4500	Бледно-жёлтый
4500—5500	Желтовато-белый
5500—6500	Чисто белый
6500—8000	Голубовато-белый
8000—15000	Бело-голубой
15000 и более	Голубой

Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D₆₅). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.

Термодинамика чернотельного излучения

Шаблон:Основная статья В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом Шаблон:Mvar в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением Шаблон:Mvar и температурой Шаблон:Mvar, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная Шаблон:Mvar вместо постоянной Стефана — Больцмана Шаблон:Math: Шаблон:EF где Шаблон:Mvar — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободыШаблон:Sfn.

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс Шаблон:Math является одновременно и изобарным процессом Шаблон:Math. С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая Шаблон:Nobr уже при Шаблон:Nobr, а при температуре Шаблон:Nobr (температура центра Солнца) давление достигает значения Шаблон:Nobr Шаблон:Nobr. Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).

См. также

• Точка Дрейпера
• Фундаментальные физические постоянные
• Тепловое излучение
• Закон смещения Вина
• Vantablack
• Серое тело

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая теория // Физика в техническом университете, 5-й том. — МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Ссылки

• Спектр чёрного тела (flash-приложение)
• Шаблон:Cite web