Закон смещения Вина

Кривые зависимостей спектральной плотности излучения абсолютно чёрных тел с различными температурами от длины волны. Видно, что при возрастании температуры максимум спектральной плотности сдвигается в коротковолновую часть спектра. Именно эту особенность и описывает закон Вина

Зако́н смеще́ния Ви́на — физический закон, устанавливающий зависимость длины волны, на которой спектральная плотность потока излучения чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году, путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению. Соответствующее смещение пика интенсивности с температурой наблюдалось и экспериментально. В настоящее время закон смещения Вина может быть получен математически из закона Планка.

Общий вид закона смещения Вина

Закон выражается формулой

${\lambda }_{\text{max}}=b/T,$

где ${\lambda }_{\text{max}}$ — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а $T$ — температура. Коэффициент $b=\frac{ch}{k\alpha }$ (где Шаблон:Mvar — скорость света в вакууме, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar ≈ 4,965114… — постоянная величина, корень уравнения $\alpha /5=1-e^{-\alpha }$), называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света $\nu$ (в герцах) закон смещения Вина имеет вид

${\nu }_{\text{max}}=\frac{\alpha }{h}kT\approx 5,879\times 10^{10}\cdot T,$

где Шаблон:Math ≈ 2,821439… — постоянная величина (корень уравнения $\alpha /3=1-e^{-\alpha }$), Шаблон:Mvar — постоянная Больцмана, Шаблон:Mvar — постоянная Планка, Шаблон:Mvar — температура (в кельвинах).

Различие численных постоянных здесь обусловлено различием между показателями степени в планковском распределении, записанном для длины волны и частоты излучения: в одном случае входит ${\lambda }^{-5}$, в другом — ${\omega }^3\sim {\lambda }^{-3}$. Это различие, в свою очередь, возникает из-за нелинейности связи между частотой и длиной волны:

$\omega =\frac{2\pi c}{\lambda },\frac{d}{d\omega }=-\frac{{\lambda }^2}{2\pi c}\frac{d}{d\lambda }.$

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для испускательной способности ${\epsilon }_{\lambda }(\lambda ,T)$ абсолютно чёрного тела, записанное для длин волн:

${\epsilon }_{\lambda }=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}.$

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по $\lambda$ и приравнять производную нулю:

$\frac{\partial {\epsilon }_{\lambda }}{\partial \lambda }=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^6}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}(\frac{hc}{kT\lambda }\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)}-5)=0.$

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда $\lambda \to \mathrm{\infty }$ или когда $e^{hc/\lambda kT}\to \mathrm{\infty }$, что выполняется при $\lambda \to 0$. Однако, оба эти случая дают минимум функции ${\epsilon }_{\lambda }(\lambda )$, которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

$\frac{hc}{kT\lambda }\frac{e^{hc/\lambda kT}}{(e^{hc/\lambda kT}-1)}-5=0.$

Используя замену переменных $x=\frac{hc}{kT\lambda }$, данное уравнение можно преобразовать к виду

$\frac{x{e}^x}{e^x-1}-5=0.$

Численное решение этого уравнения даёт

$x=4,965114231744276\dots$

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{hc}{x}\frac{1}{kT}=\frac{2,89776829\dots \times 10^{-3}}{T},$

где температура дана в кельвинах, а ${\lambda }_{\text{max}}$ — в метрах.

Примеры

Согласно закону смещения Вина, чёрное тело с температурой человеческого тела (~310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно, эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

См. также

• Абсолютно чёрное тело
• Закон излучения Планка
• Закон Стефана — Больцмана

Ссылки

• Мир физики Эрика ВейстейнаШаблон:Ref-en
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья