Теорема Пика (комплексный анализ)

Шаблон:Значения Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка

Пусть $w = f (z)$ — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Q = {z \in ℂ : | z | < 1}; f : Q \to Q .

Тогда для любых точек $z_{1}$ и $z_{2}$ круга $Q$ расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

d (w_{1}, w_{2}) \leq d (z_{1}, z_{2}), w_{1} = f (z_{1}), w_{2} = f (z_{2})

.

Более того, равенство достигается только в том случае, когда $w = f (z)$ есть дробно-линейная функция, отображающая круг $Q$ на себя.

Поскольку

t h [\frac{1}{2} \cdot d (z, w)] = \frac{| z - w |}{| 1 - \overline{z} \cdot w |},

условие

d (w_{1}, w_{2}) ⩽ d (z_{1}, z_{2})

эквивалентно следующему неравенству:

| \frac{f (z_{1}) - f (z_{2})}{1 - \overline{f (z_{1})} f (z_{2})} | ⩽ \frac{| z_{1} - z_{2} |}{| 1 - \overline{z_{1}} z_{2} |} .

Если $z_{1}$ и $z_{2}$ бесконечно близки, оно превращается в

\frac{| f^{'} (z) |}{1 - {| f (z) |}^{2}} ⩽ \frac{1}{1 - {| z |}^{2}} .

Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.