Моногенная функция

Функция $f:ℂ\to ℂ$ называется моногенной (или дифференцируемой в смысле комплексного анализа) в точке $z_0\in ℂ$, если предел

$\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

существует и одинаков для приближения $z$ к точке $z_0$ по произвольному пути. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки $z_0\in ℂ$, называется голоморфной в этой точке. Функция, моногенная во всех точках некоторой открытой области $D\subseteq ℂ$, называется голоморфной в этой области.

Функция называется полигенной, если подобный предел зависит от пути и имеет бесконечно много значений. Можно показать, что комплекснозначная функция может быть либо моногенной, либо полигенной, а случай существования конечного количества различных значений этого предела исключён.

Пример. Функция $f(z)=z$ — моногенная в нуле:

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z-0}{z-0}=1,$

а функция $f(z)=\bar{z}$ — полигенная:

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\bar{z}-0}{z-0}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{|z|e^{-i\varphi }}{|z|e^{i\varphi }}=e^{-2i\varphi },$ или $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\bar{z}-0}{z-0}={\mathrm{sgn}}^{-2}z,$

где φ — аргумент числа Шаблон:Nums, а sgn — комплексная функция знака, которая принимает значение, модуль которого всегда единичен.

См. также

• Голоморфная функция
• Условия Коши — Римана

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.