Чезаровское среднее

Чезаровское среднее (среднее по Чезаро) — среднее арифметическое частичных сумм первых $n$ членов заданной последовательности $\{a_n\}$:

$c_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{s}_i$

где $s_n$ — частичные суммы ряда:

$s_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$

Названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро.

Основной результат теории чезаровских средних — теорема Штольца — утверждает, что если существует предел последовательности частичных сумм $s_n$, то также существует предел последовательности $c_n$, и они равны:

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n{a}_i=A\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=A$.

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность $a_n=(-1{)}^n$.) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Ссылки

• Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.