Последовательный статистический критерий

Последовательный статистический критерий — последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе.

Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина $X$ с неизвестным (полностью или частично) распределением $\mathbb{P}$ (формально, в математической нотации, $X:\mathrm{\Omega }\mapsto ℝ$, где вероятностное пространство $\mathrm{\Omega }$ снабжено $\sigma$-алгеброй событий $ℱ$, и $X$ измерима относительно Борелевской $\sigma$-алгебры).

Пусть проверяется нулевая гипотеза $H_0:\mathbb{P}\in {𝒫}_0$ против альтернативы $H_1:\mathbb{P}\in {𝒫}_1$.

На каждом этапе $i\ge 1$ статистического эксперимента, независимо от других этапов, наблюдается случайная величина $X_i$ — копия $X$, до тех пор пока $i\le \nu$, где $\nu$ — некоторый (случайный) момент остановки. Последовательный статистический критерий — это пара $(\nu ,\delta )$, где $\delta$ — любая функция от $(X_1,\dots ,X_{\nu })$, принимающая значение 0 или 1 (решение, соответственно, в пользу нулевой $H_0$ или альтернативной $H_1$ гипотезы).

Этому определению может быть придан формальный смысл с помощью понятия момента остановки относительно последовательности $\sigma$-алгебр ${ℱ}_n=\sigma (X_1,X_2,\dots X_n)$, порожденных случайными величинами $X_1,X_2,\dots X_n$, $n=1,2,\dots$. Тогда решающая функция $\delta$ должна быть измеримой относительно $\sigma$-алгебры ${ℱ}_{\nu }$ событий, предшествующих моменту $\nu$: ${ℱ}_{\nu }=\{A\in ℱ:A\cap \{\nu \le n\}\in {ℱ}_n\}$.

Функция мощности критерия $(\nu ,\delta )$ в "точке" $\mathbb{P}$ определяется как $\beta (\mathbb{P};\nu ,\delta )=\mathbb{P}(\delta =1)$. Если $\mathbb{P}\in {𝒫}_0$, то $\beta (\mathbb{P};\nu ,\delta )$ называется вероятностью ошибки первого рода (вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна). Если $\mathbb{P}\in {𝒫}_1$, то $\mathbb{P}(\delta =0)$ называется вероятностью ошибки второго рода (вероятность принять нулевую гипотезу, когда она неверна).

Рандомизированные последовательные критерии

Рандомизированный последовательный критерий проверки гипотез может быть определен как пара $(\psi ,\varphi )$, где $\psi =({\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,)$, $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,)$, и ${\psi }_n={\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)$, ${\varphi }_n={\varphi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ - (измеримые) функции, принимающие значения между 0 и 1, $n=1,2,\dots$. На каждом этапе $n\ge 1$ (если эксперимент до него дошел) ${\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ интерпретируется как вероятность остановится на этом этапе, без проведения дальнейших наблюдений, а ${\varphi }_n(X_1,\dots ,X_n)$ - как вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если остановка на этом этапе произошла.

$\psi =({\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,)$ называется рандомизированным правилом остановки, а $\varphi =({\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,)$ - рандомизированным правилом принятия решения.

Если все ${\psi }_n$ принимают только значения 0 (продолжение наблюдений) и 1 (остановка), то правило остановки $\psi$ определяет нерандомизированный момент остановки $\nu =\min \{n:{\psi }_n(X_1,\dots ,X_n)=1\}$. Аналогично, если все ${\varphi }_n$ принимают только значения 0 (принятие нулевой гипотезы) и 1 (отвержение нулевой гипотезы), то правило принятия решения $\varphi$ определяет нерандомизированную решающую функцию: $\delta ={\varphi }_n$, если ${\psi }_n=1$.

Функция мощности критерия $(\psi ,\varphi )$ в "точке" $\mathbb{P}$ определяется как $\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i{\varphi }_i$, где $𝔼$ - математическое ожидание относительно $\mathbb{P}$. Если $\mathbb{P}\in {𝒫}_0$, то $\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )$ - вероятность ошибки первого рода. Если $\mathbb{P}\in {𝒫}_1$, то вероятность ошибки второго рода равна $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })-\beta (\mathbb{P};\psi ,\varphi )$, где $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i$. Соответственно, средний объем выборки при использовании правила остановки $\psi$ определяется как $E\nu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i𝔼(1-{\psi }_1)\dots (1-{\psi }_{i-1}){\psi }_i$, если $\mathbb{P}(\nu <\mathrm{\infty })=1$ (в противном случае $E\nu =\mathrm{\infty }$).

Пример

Последовательный критерий отношения вероятностей (критерий Вальда)

Ссылки

• Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
• Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.