Проверка статистических гипотез

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики.

Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины, которую можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина $X$, распределение которой $\mathbb{P}$ полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно $\mathbb{P}$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}$, то есть $H:\{\mathbb{P}={\mathbb{P}}_0\}$, где ${\mathbb{P}}_0$— какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\{\mathbb{P}\in 𝒫\}$, где $𝒫$ — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу $H_0$. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_1$, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ фиксированного объема $n\ge 1$ для распределения $\mathbb{P}$. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\dots ,X_n)\sim 𝒩(\mu ,1)$ из нормального распределения, где $\mu$ — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\{\mu ={\mu }_0\}$, где ${\mu }_0$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\{\mu >{\mu }_0\}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы $H_0$ и конкурирующей гипотезы $H_1$.
2. Задание уровня значимости $\alpha$, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
3. Расчёт статистики $\varphi$ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки $𝐗=(X_1,\dots ,X_n):\varphi =\varphi (X_1,\dots ,X_n)$;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H_0$;
   • статистика $\varphi$, как функция случайной величины $𝐗$, также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
4. Построение критической области. Из области значений $\varphi$ выделяется подмножество $𝒞$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\varphi \in 𝒞)=\alpha$. Это множество $𝒞$ и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $\varphi$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $𝒞$ выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы $H_0$.

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\mathrm{\infty },x_{\alpha /2})\cup (x_{1-\alpha /2}+\mathrm{\infty })$, где $x_{\alpha /2},x_{1-\alpha /2}$ находят из условий $P(\varphi <x_{\alpha /2})=\frac{\alpha }{2},P(\varphi <x_{1-\alpha /2})=1-\frac{\alpha }{2}$.
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\mathrm{\infty },x_{\alpha })$, где $x_{\alpha }$ находят из условия $P(\varphi <x_{\alpha })=\alpha$.
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_{1-\alpha },+\mathrm{\infty })$, где $x_{1-\alpha }$ находят из условия $P(\varphi <x_{1-\alpha })=1-\alpha$.

См. также

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости
• Статистическая мощность
• Квантиль

Литература

• Шаблон:БРЭ