Образ меры под действием отображения

Шаблон:Нет источников Образ меры — естественная конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения. Если представлять себе меру как распределение массы, а отображение как перенос точкек из одного пространства в другое, то масса множества это суммарная масса попадающих в него точек.

Образ меры $\mu$ отображения $f$ обычно обозначается $f_{*}\mu$, но иногда используется обозначение $f_{\mathrm{\#}}\mu$.

Определение

Пусть задано измеримое отображение $f:(X,{\mathrm{\Sigma }}_1)\to (Y,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ измеримых пространств и мера $\mu$ на $(X,{\mathrm{\Sigma }}_1)$, её образом под действием $f$ называется мера $f_{*}\mu$ на $(Y,{\mathrm{\Sigma }}_2)$, определённая как

$(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\mathrm{\forall }A\subset Y,A\in {\mathrm{\Sigma }}_2.$

Свойства

Для функции $f:X\to Y$ между метрическими пространствами, снабжённых борелевскими $\sigma$-алгебрами, меру можно рассматриваеть как функционал на непрерывных ограниченных функциях. В этом случае определение образа меры может быть переписано как

$\underset{Y}{\int }\phi d(f_{*}\mu )=\underset{X}{\int }\phi \circ fd\mu .$

для любой непрерывной функции $\phi$ с компактым носителем.

См. также

• Инвариантная мера