Пространство дифференцируемых функций

Шаблон:Нет ссылок Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве $\mathrm{\Omega }\subset R^n$ гладких функций с порядком гладкости $k$, где k — натуральное число ($k\in \mathbb{N}$). Обозначения: $C^k$, $C^k(\mathrm{\Omega })$ . Все функции из $C^k$ обладают непрерывными производными вплоть до $k$-го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество всех определенных на компакте $\mathrm{\Omega }\subset R^n$ функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: $C^{\mathrm{\infty }},C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$

Для любого $k$ пространство $C^k(\mathrm{\Omega })$ содержит в себе пространство $C^{k+p}(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$, а также пространство $C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ в качестве своего подмножества: $C^1\supset C^2\supset ...\supset C^{\mathrm{\infty }}$ .

Свойства пространств $C^k(\mathrm{\Omega })$

• $\mathrm{\forall }k,C(\mathrm{\Omega })\supset C^k(\mathrm{\Omega })$, где $C(\mathrm{\Omega })$ — пространство непрерывных функций.
• $\mathrm{\forall }k,C^k(\mathrm{\Omega })$ — Банахово пространство. Норма в этом пространстве: $\mathrm{\forall }f\in C^k(\mathrm{\Omega }):\Vert f{\Vert }_{C^k}=\sum _{l=0}^k\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\max }|f^{(l)}(x)|$, где $f^{(0)}(x)=f(x)$, $f^{(l)}(x)=\frac{d^{l}f(x)}{d{x}^l}$ .

Также эту норму можно записать в виде $\Vert f{\Vert }_{C^k}=\sum _{l=0}^k\Vert f^{(l)}{\Vert }_C$ .

Примечания

Шаблон:Rq