Лемма Шуры-Буры

Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств:

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$, а $\{F_s{\}}_{s\in S}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если $\bigcap _{s\in S}{F}_s\subset U$, то существует конечное множество $\{s_1,s_2,\dots s_n\}\subset S$, такое, что $\bigcap _{i=1}^n{F}_{s_i}\subset U$.

Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$, а $ℱ$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap ℱ\subset U$. Тогда $\bigcap {ℱ}_0\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${ℱ}_0\subset ℱ$.

Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества $U$ и из дополнений элементов семейства $ℱ$, является открытым покрытием пространства $X$ и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.

Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.

Обобщения леммы Шуры-Буры

Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное:

Пусть $U$ — открытое подмножество пространства $X$, а $ℱ$ — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём $\bigcap ℱ\subset U$. Тогда $\bigcap {ℱ}_0\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${ℱ}_0\subset ℱ$.

В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление:

Пусть $U$ — открытое подмножество хаусдорфова пространства $X$, а $ℱ$ — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap ℱ\subset U$. Тогда найдутся конечное семейство $\{F_1,F_2,\dots ,F_n\}\subset ℱ$ и конечное семейство $\{V_1,V_2,\dots ,V_n\}$ открытых в $X$ множеств, обладающие следующими свойствами:
а) $F_i\subset V_i$ для $i=1,2,\dots ,n$;
б) $\bigcap _{i=1}^n{V}_i\subset U$.

Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта

Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова, где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941):

Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой.

Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры». Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914).