Ласточкин хвост (поверхность)

Ла́сточкин хвост (Шаблон:Lang-en) — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.

Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$.

«Ласточкин хвост» и его сечения плоскостями $a=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

Определение

Рассмотрим многочлен $P(x)=x^4+a{x}^2+bx+c$ от переменной $x$, зависящий от коэффициентов $a,b,c$ (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов $a,b,c$ однозначно соответствует многочлен $P(x)$, а также точка в пространстве с декартовыми координатами $(a,b,c)$. Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность $S$ в пространстве с координатами $(a,b,c)$, точкам которой соответствуют многочлены $P(x)$, имеющие кратные корни.

Поверхность $S$ имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность $S$ разбивает пространство $(a,b,c)$ на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена $P(x)$. Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, $P(x)$ имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.

Параметрическое задание

Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена $P(x)$ дает систему из двух уравнений:

$P(x)=x^4+a{x}^2+bx+c=0,P^{\prime }(x)=4x^3+2ax+b=0,$

откуда нетрудно выразить переменные $b,c$ через $a,x$:

$\{\begin{array}{cc}b=& -2(2x^3+ax)\\ c=& 3x^4+a{x}^2.\end{array}$

Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты $x_1=a,x_2=-b/2,x_3=c$, рассматривая переменные $a,x$ в правой части полученных уравнений как параметры: $u=a,v=x$, и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением $x_1=u$, получаем параметрическую запись:

$\{\begin{array}{cc}{x}_1(u,v)=& u\\ x_2(u,v)=& 2v^3+uv\\ x_3(u,v)=& 3v^4+u{v}^2.\end{array}$

В искусстве

В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (Шаблон:Lang-en), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности $S$ в пространстве $(a,b,c)$ плоскостью $a=const>0$ — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов .

См. также

• Дискриминант

Литература

• Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
• Шаблон:Книга