Формула Бине — Коши

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Формулировка

Произведение двух прямоугольных матриц $A$ и $B$ дает квадратную матрицу порядка $m$, если $A$ имеет $n$ столбцов и $m$ строк, а матрица $B$ имеет $m$ столбцов и $n$ строк. Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел $n$ и $m$, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы $A$) и строках (матрицы $B$) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы $AB$ равен нулю, если $n<m$, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка $m$, если $n⩾m$ (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы $A$ и строк матрицы $B$ с возрастающими номерами $i_1<i_2<\dots <i_m$).

Замечания

• В случае $n<m$ формула $|AB|=0$ очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы $AB$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы $A$, то в случае, когда число столбцов матрицы $AB$ больше числа столбцов матрицы $A$, матрица $AB$, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
• В случае $n=m$ формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: $|AB|=|A||B|$.
• В случае $n>m$ доказательство формулы Бине — Коши более сложно.

Пример

Пусть

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\\ b_1& b_2& \dots & b_n\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\\ ⋮& ⋮\\ a_n& b_n\end{array}\right).$

Тогда

$AB=\left(\begin{array}{cc}{a}_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2& a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n\\ a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n& b_1^2+b_2^2+\dots +b_n^2\end{array}\right),$

и соответствующие миноры имеют вид

$\left|\begin{array}{cc}{a}_i& b_i\\ a_j& b_j\end{array}\right|$

при всех $i<j$, принимающих значения от $1$ до $n$.

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

$(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots +b_n^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n{)}^2=\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2,$

из которого (в случае, когда все $a_i$ и $b_i$ являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:

$(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots +b_n^2)⩾(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n{)}^2.$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Доказательство теоремы (Лекция В.П. Григорьева, МЭИ)