Логика второго порядка

Логика второго порядка в математической логике — формальная система, расширяющая логику первого порядка возможностью квантификации общности и существования не только над переменными, но и над предикатами и функциональными символами. Логика второго порядка несводима к логике первого порядка. В свою очередь, она расширяется логикой высших порядков и теорией типов.

Язык и синтаксис

Формальные языки логики второго порядка строятся на основе множества функциональных символов $ℱ$ и множества предикатных символов $𝒫$. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность (число аргументов). Также используются дополнительные символы

• Символы индивидуальных переменных, обычно $x,y,z,x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2$ и т. д.
• Символы функциональных переменных $F,G,H,F_1,G_1,H_1,F_2,G_2,H_2$ и т. д. Каждой функциональной переменной соответствует некоторое положительное число — арность функции.
• Символы предикатных переменных $P,R,S,P_1,R_1,S_1,P_2,R_2,S_2$ и т. д. Каждой предикатной переменной соответствует некоторое положительное число — арность предиката.
• Пропозициональные связи: $\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg },\to$,
• Кванторы общности $\mathrm{\forall }$ и существования $\mathrm{\exists }$,
• Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами $𝒫$ и $ℱ$ образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно.

• Терм — это символ индивидуальной переменной, либо выражение, которое имеет вид $f(t_1,\dots ,t_n)$, где $f$ — функциональный символ арности $n$, а $t_1,\dots ,t_n$ — термы либо выражение вида $F(t_1,\dots ,t_n)$, где $F$ — функциональная переменная арности $n$, а $t_1,\dots ,t_n$ — термы.
• Атом — имеет вид $p(t_1,\dots ,t_n)$, где $p$ — предикатный символ арности $n$, а $t_1,\dots ,t_n$ — термы или $P(t_1,\dots ,t_n)$, где $P$ — предикатная переменная арности $n$, а $t_1,\dots ,t_n$ — термы.
• Формула — это или атом, или одна из следующих конструкций: $\mathrm{\neg }A,(A_1\vee A_2),(A_1\wedge A_2),(A_1\to A_2),\mathrm{\forall }xA,\mathrm{\exists }xA,\mathrm{\forall }FA,\mathrm{\exists }FA,\mathrm{\forall }PA,\mathrm{\exists }PA$, где $A,A_1,A_2$ — формулы, а $x,F,P$ — индивидуальная, функциональная и предикатная переменные. (Конструкции $\mathrm{\forall }FA,\mathrm{\exists }FA,\mathrm{\forall }PA,\mathrm{\exists }PA$ являются формулами второго и не первого порядка).

Семантика

В классической логике интерпретация формул логики второго порядка задаётся на модели второго порядка, которая определяется следующими данными.

• Базовое множество $𝒟$,
• Семантическая функция $\sigma$, которая отображает
  • каждый $n$-арный функциональный символ $f$ из $ℱ$ в $n$-арную функцию $\sigma (f):𝒟\times \dots \times 𝒟\to 𝒟$,
  • каждый $n$-арный предикатный символ $p$ из $𝒫$ в $n$-арное отношение $\sigma (p)\subseteq 𝒟\times \dots \times 𝒟$.

Свойства

В отличие от логики первого порядка, логика второго порядка не имеет свойств полноты и компактности. Также в этой логике является неверным утверждение теоремы Лёвенгейма — Скулема.

Литература

1. Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91.
2. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
3. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0.
4. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag.
5. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.