Условия излучения Зоммерфельда

Уравнение Гельмгольца:

$\mathrm{\Delta }U+k^{2}U=f$

- имеет не единственное решение в классе (обобщённых) функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Чтобы выделить класс единственности решения (из соображений удобства выбрать конкретное решение) в неограниченных областях, необходимо потребовать дополнительных ограничений решения на бесконечности. Этими ограничениями и явились условия излучения Зоммерфельда:

$u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\frac{\partial u(x)}{\partial |x|}-iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),|x|\to \mathrm{\infty }\left(1\right)$

или

$u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right),\frac{\partial u(x)}{\partial |x|}+iku(x)=o\left(\frac{1}{|x|}\right),|x|\to \mathrm{\infty }\left(\bar{1}\right)$.

Условия излучения $\left(1\right)$ отвечают уходящим на бесконечность волнам, а условия $\left(\bar{1}\right)$ волнам приходящим из бесконечности. Для гармонических функций $(k=0)$ условия излучения вытекают из единственного требования: $u\left(\mathrm{\infty }\right)=0$. Также можно показать, что при $k>0$ всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий $\left(1\right)$ или $\left(\bar{1}\right)$, удовлетворяет и первому условию: $u(x)=O\left(\frac{1}{|x|}\right)$

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• С. В. Молодцов. Условия излучения Зоммерфельда // Физическая энциклопедия