Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента $x$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и $e_1,e_2,\dots$ — ортонормированная последовательность элементов $H$. Тогда для произвольного $x\in H$ выполняется неравенствоШаблон:Sfn

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert ⟨x,e_k⟩{\Vert }^2⩽\Vert x{\Vert }^2,$

где $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ обозначает скалярное произведение в пространстве $H$.

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

$0⩽\Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2,$

которое выполняется для произвольного $n⩾1$.

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• Bessel's Inequality Шаблон:Wayback статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4)Шаблон:Недоступная ссылка

Литература

• Шаблон:Книга