Проект:Математика/Основные понятия/Дифференциал

Определения

Напомним основные понятия, которые возникают для вещественнозначных функций одного вещественного переменного.

Дифференцируемость в точке

Функция $f:E\to R$, определённая на множестве $E\subset R$, называется дифференцируемой в точке $a\in E$, предельной для множества $E$, если существует такая линейная относительно приращения аргумента $x-a$ функция $A\cdot (x-a)$ такая, что приращение $f(x)-f(a)$ функции $f$ представляется в виде

$f(x)-f(a)=A\cdot (x-a)+o(x-a).$

Дифференциал

Функция $A\cdot (x-a)$, которая фигурирует в определении дифференцируемости функции в точке $a$, называется дифференциалом функции $f$ в точке $a$.

Дифференциал функции из Rn в Rm

Аналогично одномерному случаю, функцию $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ называют дифференцируемой в точке $a$, если существует такая линейная функция $A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$, что $f(x)=f(a)+A(x-a)+o(\Vert x-a\Vert )$.

Производная Фреше и производная Гато

На банаховых пространствах можно ввести производную Фреше. Несмотря на слово "производная", обобщает она именно дифференциал. Так как дифференцирование - это локальная операция, то после корректного определения касательного пространства на банаховых многообразиях производная Фреше легко на них переносится (С. Ленг, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, стр. 36). На локально выпуклых топологических векторных пространствах также можно ввести понятие производной (дифференциала, на самом деле), обобщающей производную Фреше, но различные способы это сделать неэквивалентны. Один из таких способов дает производную Гато, другой описан у Ленга, я (Участник:Kallikanzarid) не знаю, эквивалентны ли они.