Уравнения Лагранжа (гидромеханика)

Уравне́ния Лагра́нжа (в гидромеханике) — дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид:

(X - \frac{\partial^{2} x}{\partial t^{2}}) \frac{\partial x}{\partial a_{i}} + (Y - \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}) \frac{\partial y}{\partial a_{i}} + (Z - \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}) \frac{\partial z}{\partial a_{i}} = \frac{1}{ϱ} \frac{\partial p}{\partial a_{i}}, (i = 1, 2, 3), (1)

где $t$ — время, $x$ , $y$ , $z$ — координаты частицы жидкости, $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ — параметры, с помощью которых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат $x_{0}$ , $y_{0}$ , $z_{0}$ в некоторый момент времени $t_{0}$ ), $X$ , $Y$ , $Z$ — проекции объёмных сил, $p$ — давление, $ϱ$ — плотность. Получены Ж. Л. Лагранжем около 1780 года.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная $X$ , $Y$ , $Z$ , а также начальные и граничные условия, определить $x$ , $y$ , $z$ , $p$ , $ϱ$ как функции времени и параметров $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ . Для решения этой задачи необходимо к уравнениям (1) присоединить уравнение неразрывности, имеющее в переменных Лагранжа вид и уравнение состояния $ϱ = f (p)$ для баротропного движения или $ϱ = c o n s t$ для несжимаемой жидкости. Если зависимости $x$ , $y$ , $z$ от $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $t$ найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.

ϱ (a_{1}, a_{2}, a_{3}, t) | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial a_{1}} & \frac{\partial y}{\partial a_{1}} & \frac{\partial z}{\partial a_{1}} \\ \frac{\partial x}{\partial a_{2}} & \frac{\partial y}{\partial a_{2}} & \frac{\partial z}{\partial a_{2}} \\ \frac{\partial x}{\partial a_{3}} & \frac{\partial y}{\partial a_{3}} & \frac{\partial z}{\partial a_{3}} \end{matrix} | = ϱ_{0} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, t_{0}) | \begin{matrix} \frac{\partial x_{0}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial y_{0}}{\partial a_{1}} & \frac{\partial z_{0}}{\partial a_{1}} \\ \frac{\partial x_{0}}{\partial a_{2}} & \frac{\partial y_{0}}{\partial a_{2}} & \frac{\partial z_{0}}{\partial a_{2}} \\ \frac{\partial x_{0}}{\partial a_{3}} & \frac{\partial y_{0}}{\partial a_{3}} & \frac{\partial z_{0}}{\partial a_{3}} \end{matrix} | (2)

Обычно при решении задач гидромеханики пользуются уравнениями Эйлера. Уравнения Лагранжа применяются главным образом при изучении нестационарных движений — в частности, колебательных движений жидкости, в некоторых вопросах теории турбулентности.

Литература

Уравнения Лагранжа (гидромеханика)

Литература

Навигация

Поиск