Аксиома счётного выбора

Пусть каждое из множеств $S_1,S_2,S_3\dots$ непусто. Аксиома счётного выбора утверждает, что можно взять по одному элементу $x_i$ из каждого множества $S_i$ и выстроить их в последовательность $x_1,x_2,x_3\dots$

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая ${𝐀𝐂}_{\omega }.$ Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств $S_1,S_2,S_3\dots$ можно построить последовательность их представителей $x_1,x_2,x_3\dots$ при этом множества $S_i$ могут быть бесконечными и даже несчётнымиШаблон:Sfn.

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора ${𝐀𝐂}_{\omega }$ представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора ($𝐀𝐂$), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора)Шаблон:Sfn. В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частностиШаблон:Sfn:

• для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
• мера Лебега счётно-аддитивна;
• всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант ${𝐀𝐂}_{\omega },$ называемый «аксиома зависимого выбора» ($𝐃𝐂$). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности ($𝐀𝐃$).

Литература

• Шаблон:Книга — Глава 3, § 4.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Шаблон:Ref-en