Аксиомы Биркгофа

Аксиомы Биркгофа — система из четырёх постулатов в евклидовой геометрии. Эти постулаты основаны на утверждениях, которые можно проверить, проводя измерения с помощью транспортира и линейки.

В формулировке постулатов используются вещественные числа. Поэтому система постулатов Биркгофа напоминает введение евклидовой геометрии при помощи модели.

История

Предложена Джорджем Биркгофом. Биркгоф участвовал в написании школьного учебника с использованием этой системы аксиом. Эта система повлияла на систему аксиом, разработанную Шаблон:Нп1 для американской школы.

Несколько более поздних книг по основаниям геометрии, книги , и использует аксиоматику, близкую к Биркгофовской.

Постулаты

Постулат I: Множество точек {A, B, …} на любой прямой допускает биекцию на вещественные числа {a, b, … }, так что

$|b-a|=d(A,B)$

для всех точек A и B.

Постулат II: Существует одна и только одна прямая ℓ, которая содержит любые две различные точки Р и Q.

Постулат III: Множество лучей {ℓ,m, n,…} с началом в любой точке O допускает биекцию на множество вещественных чисел по модулю 2π так, что если A и B — точки (отличные от О) на лучах ℓ и m соответственно, то $a_m-a_{\ell }\equiv \mathrm{\angle }AOB(\mathrm{mod}2\cdot \pi )$. Кроме того, если точка B на m двигается непрерывно вдоль прямой р, не содержащей вершину О, то число a_m также меняется непрерывно.

Постулат IV. Предположим, два треугольника $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ таковы, что $d(A^{\prime },B^{\prime })=k\cdot d(A,B)$, $d(A^{\prime },C^{\prime })=k\cdot d(A,C)$ для некоторого вещественного числа $k>0$ и $\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\pm \mathrm{\angle }BAC(\mathrm{mod}2\cdot \pi )$, тогда $d(B^{\prime },C^{\prime })=k\cdot d(B,C)$, $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=\pm \mathrm{\angle }ACB(\mathrm{mod}2\cdot \pi )$ и $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }=\pm \mathrm{\angle }CBA(\mathrm{mod}2\cdot \pi )$.

См. также

• Аксиоматика Гильберта
• Аксиоматика Александрова
• Евклидова геометрия