Алгебра вершинных операторов

Ричард Борчердс

Алгебры вершинных операторов впервые были введены Ричардом Борчердсом в 1986 году. Имеет важное значение для теории струн, конформной теории поля и для смежных областей физики. Аксиомы алгебры вершинных операторов — это формальная алгебраическая интерпретация того, что физики называют хиральной алгеброй.

Алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических направлениях, таких как геометрическое соответствие Ленглендса (англ.) и доказательство гипотезы чудовищного вздора.

Примеры

• Решётка Z в R даёт супералгебру вершинных операторов, соответствующую одному комплексному фермиону. Это ещё один способ формулировки бозонно-фермионного соответствия. Фермионное поле ψ(z) и его сопряжённое поле ψ^†(z) определяются выражением:

$\psi (z)=\sum e_n{z}^{-n-1},{\psi }^{†}(z)=\sum e_n^{\ast }{z}^n,\{e_n,e_m\}=0,\{e_m,e_n^{\ast }\}={\delta }_{m,n}I.$

Соответствие между фермионами и одним заряженным бозонным полем

$\varphi (z)=\sum a_n{z}^{-n-1},[a_m,a_n]=m{\delta }_{n+m,0}I,U{a}_n{U}^{-1}=a_n-{\delta }_{n,0}I$

принимает вид

$\varphi (z)=:{\psi }^{†}(z)\psi (z):$

$\psi (z)=U:\exp \int \varphi (z):$

где нормальные экспоненты интерпретируется как вершинные операторы.

• Решётка √2 Z в R даёт алгебру вершинных операторов, соответствующую аффинной алгебре Каца — Муди (англ.) для SU(2) на первом уровне. Она реализуется полями

$H(z)=\varphi (z)\otimes I-I\otimes \varphi (z)$

$E(z)=\psi (z)\otimes {\psi }^{†}(z)$

$F(z)={\psi }^{†}(z)\otimes \psi (z)$

Литература

• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — Ижевск: РХД 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7.
• Шехтман В. В. Вертексные алгебры, связанные с алгебраическими многообразиями. — С. 91-104 Шаблон:Wayback.