Алгоритм Борувки

Алгори́тм Бору́вки (или алгоритм Борувки — Соллина) — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Шаблон:Iw в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком, Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным учёным из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе по параллельным вычислениям.

Алгоритм

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

Алгоритм можно описать так:

1. Изначально, пусть $T$ — пустое множество рёбер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
2. Пока $T$ не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в $T$ меньше, чем $V-1$, где $V$ — число вершин в графе):
   • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами $T$, найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
   • Добавим все найденные рёбра в множество $T$.
3. Полученное множество рёбер $T$ является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритма

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более $O(\log V)$ итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью $O(E)$, поэтому общее время работы алгоритма составляет $O(E\log V)$ времени (здесь $V$ и $E$ — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до $O(E)$. Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. также

• Минимальное остовное дерево
• Остовное дерево
• Алгоритм Дейкстры
• Алгоритм Краскала
• Алгоритм обратного удаления
• Алгоритм Прима

Литература

• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++, часть 5. Алгоритмы на графах. ISBN 5-93772-082-2.