Алгоритм Ванга — Ландау

Алгоритм Ванга-Ландау, предложенный Фугао Вангом и Дэвидом Ландау, это метод Монте-Карло, предназначенный для расчета плотности состояний системы. Метод выполняет немарковские случайные переходы для построения плотности состояний, посещая все возможные состояния. Алгоритм Ванга и Ландау, это важный для получения плотности состояний метод, требуемый для выполнения мультиканонического моделирования

Алгоритм Ванга-Ландау может быть применен к любой системе, которая характеризуется некоторым параметром (например, энергией, объемом и др.). К примеру, он может быть использован для численного интегрирования и моделирования белков.

Описание

Алгоритм Ванга-Ландау является реализацией метода энтропического моделирования, в котором изучается плотность состояний с помощью блуждания в пространстве энергий с равновероятным посещением всех энергетических состояний. Алгоритм решает проблему подбора подходящих вероятностей перехода для получения требуемого при энтропическом моделировании равномерного посещения энергетических состояний и, следовательно, позволяет получить плотность состояний $\mathrm{\Omega }(E)$.

Алгоритм

Рассмотрим систему в фазовом пространстве $\mathrm{\Omega }$ и энергию $E$, изменение которой ограничено диапазоном $E_{min}\le E\le E_{max}$. Пусть рассматриваемая система имеет плотность вероятности $\rho (E)\sim \exp (S(E))$, которую нам требуется посчитать. Поскольку алгоритм Ванга и Ландау работает с дискретным спектром энергии, диапазон $E_{min}\le E\le E_{max}$ разбивается на конечное число ($M$) равных отрезков («ящиков»), размер которых равен $\mathrm{\Delta }$. Таким образом:

$M=\frac{E_{max}-E_{min}}{\mathrm{\Delta }}$.

С учетом этого дискретного спектра, алгоритм имеет следующие начальные условия:

• $S(E_i)=0,i=1,2,...,M$
• $f=1$ (используется далее, как добавка к энтропии $S(E_i)$ после каждого принятого шага)
• Выбирается случайная конфигурация системы $\overrightarrow{r}\in \mathrm{\Omega }$

Алгоритм выполняет моделирование в мультиканоническом ансамбле: случайное блуждание Метрополиса-Гастингса по фазовому пространству $\mathrm{\Omega }$ системы с распределением вероятности $P(\overrightarrow{r})=1/\rho (E(\overrightarrow{r}))=\exp (-S(E(\overrightarrow{r})))$ и вероятностью генерации нового состояния, данной распределением вероятности $g(\overrightarrow{r}\to {\overrightarrow{r}}^{\prime })$, которое выбирается произвольно (обычно любое состояние может быть сгенерировано с равной вероятностью). В процессе моделирования, посещение каждого «ящика» записывается в гистограмму $H(E)$ (то есть, значение $H(E)$ увеличивается на единицу). Как и в алгоритме Метрополиса-Гастингса, генерация и принятие нового состояния выполняется следующим образом:

1. генерация нового состояния ${\overrightarrow{r}}^{\prime }\in \mathrm{\Omega }$ согласно распределению вероятности $g(\overrightarrow{r}\to {\overrightarrow{r}}^{\prime })$
2. принятие/отклонение нового состояния, производится следующим образом:

Если энтропия нового состояния меньше текущего, то оно сразу принимается. Если же энтропия увеличилась, то новое состояние принимается с вероятностью: $A=e^{S-S^{\prime }}\frac{g({\overrightarrow{r}}^{\prime }\to \overrightarrow{r})}{g(\overrightarrow{r}\to {\overrightarrow{r}}^{\prime })}$, где $S=S(E(\overrightarrow{r}))$ и $S^{\prime }=S(E({\overrightarrow{r}}^{\prime }))$.

То есть, общая формула выглядит следующим образом:

$A(\overrightarrow{r}\to {\overrightarrow{r}}^{\prime })=\min (1,e^{S-S^{\prime }}\frac{g({\overrightarrow{r}}^{\prime }\to \overrightarrow{r})}{g(\overrightarrow{r}\to {\overrightarrow{r}}^{\prime })})$.

Таким образом, энтропия наиболее часто посещаемых состояний будет расти, в результате чего они будут посещаться всё реже, а наиболее редкие состояния, следовательно, будут посещаться чаще. Тем самым, мы добиваемся равновероятного посещения всех состояний.

После каждого шага генерации-принятия система переходит в некоторое состояние $E_i$, значение $H(E_i)$ увеличивается на единицу, а также выполняется следующее изменение:

$S(E_i)\leftarrow S(E_i)+f$

Это важный шаг алгоритма, и это то, что делает алгоритм Ванга-Ландау немарковским: случайный процесс теперь зависит от истории процесса. Таким образом, когда в следующий раз будет предложено состояние с энергией $E_i$, это состояние будет отклонено с большей вероятностью; в этом смысле, алгоритм принуждает систему посещать все состояния с одинаковой частотой. Как следствие, гистограмма $H(E)$ становится все более и более плоской. Хотя, эта равномерность зависит от того, насколько посчитанная энтропия близка к точной энтропии, что зависит от $f$. Для улучшения приближения точной энтропии (и, таким образом, равномерности гистограммы), $f$ уменьшается после $M$ шагов генерации-принятия:

$f\leftarrow f/2$

Через некоторое время было показано, что при изменении $f$постоянным делением на два алгоритм может не сходиться. Небольшая модификация метода Ванга-Ландау позволяет избежать этого: производится деление не на два, а на $t$, при чем $t$ пропорционально шагу моделирования.

В результате использования этого алгоритма происходит автоматическая настройка весов вероятности перехода, которые одновременно определяют плотности состояний. По окончании расчета вычисляется массив $\mathrm{\Omega }(E)=\exp S(E)$и нормируется на единицу.

Пример кода

Ниже показан пример кода на Python, в котором предполагается симметричность функции распределения $g$:

$g({𝒙}^{\prime }\to 𝒙)=g(𝒙\to {𝒙}^{\prime })$

currentEnergy = system.randomConfiguration() # случайная генерация начального состояния системы
while (f > epsilon):
    system.proposeConfiguration() # генерация новой конфигурации
    proposedEnergy = system.proposedEnergy() # вычисление энергии нового состояния

    if (random() < exp(entropy[currentEnergy]-entropy[proposedEnergy])):
        # если принято, обновляем энергию и систему
        currentEnergy = proposedEnergy
        system.acceptProposedConfiguration()
    else:
        # если отклонено
        system.rejectProposedConfiguration()
    
    H[currentEnergy] += 1
    entropy[currentEnergy] += f
    
    if (isFlat(H)): # isFlat проверяет достаточно ли гладкая гистограмма (например, 95%)
        H[:] = 0
        f *= 0.5 # refine the f parameter