Антиплоский сдвиг

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация — частный случай напряжённо-деформированного состояния упругого тела. Такое состояние возникает когда поле перемещений является нулевым в рассматриваемой плоскости, но ненулевым в направлении, перпендикулярном к плоскости. В случае малых деформаций тензор деформаций может быть записан в виде

$\underset{\_}{\underset{\_}{\epsilon }}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {\epsilon }_{13}\\ 0& 0& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{13}& {\epsilon }_{23}& 0\end{array}\right]$

если рассматривается плоскость $O{x}_1{x}_2$ и вектор перемещений сонаправлен с осью $O{x}_3$ .

Перемещения

В состоянии антиплоского сдвига поле перемещений (в прямоугольных декартовых координатах) имеет вид:

$u_1=u_2=0;u_3=u_3(x_1,x_2)$

где $u_i,i=1,2,3$ перемещения в направлениях осей $x_1,x_2,x_3$.

Напряжения

Для изотропного, линейно упругого материала, тензор напряжений, вытекающий из состояния антиплоского сдвига, может быть представлен в виде

$\mathit{\sigma }\equiv \left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{13}& {\sigma }_{23}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& \mu \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\\ 0& 0& \mu \frac{\partial u_3}{\partial x_2}\\ \mu \frac{\partial u_3}{\partial x_1}& \mu \frac{\partial u_3}{\partial x_2}& 0\end{array}\right]$

где $\mu$ - модуль сдвига материала.

Уравнения равновесия в случае антиплоского сдвига

В общем случае имеют место три уравнения равновесия. Однако, для антиплоского сдвига в предположении, что компоненты вектора массовых сил в направлении осей $x_1$ и $x_2$ равны нулю, они сводятся к одному уравнению следующего вида:

$\mu \mathrm{\Delta }{u}_3+b_3(x_1,x_2)=0$

где $b_3$ - компонента вектора массовых сил, направленная вдоль оси $x_3$ и $\mathrm{\Delta }{u}_3=\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_2^2}$.

Отметим, что такое уравнение подходит только для случая бесконечно малых деформаций.

Приложения

Гипотеза антиплоского сдвига используется при определении напряжений, вызванных винтовой дислокацией.