Аргументы максимизации и минимизации

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, $\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)$ — есть значение $x$, при котором $f(x)$ достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов :

$\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)\in \{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\le f(x)\}$.

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: $x_0=\underset{x}{\mathrm{argmax}}f(x)\iff \max f(x)=f(x_0)$.

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума:

$\underset{x}{\mathrm{argmin}}f(x)\in \{x|\mathrm{\forall }y:f(y)\ge f(x)\}$.

Примеры

• $\underset{x\in ℝ}{\mathrm{argmax}}(x(10-x))=5$, так как максимум функции, равный 25, достигается при $x=5$;
• $\underset{x\in [0,4\pi ]}{\mathrm{argmax}}\cos (x)\in \{0,2\pi ,4\pi \}$, так как $\max \cos x=1$ на отрезке $[0,4\pi ]$ достигается при $x=0,2\pi ,4\pi$.