Аргумент Экманна — Хилтона

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы $G$ абелевы. Например, для доказательства коммутативности ${\pi }_1(G,e)$ достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в $G$ и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Формулировка и доказательство теоремы

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }$.

Далее, пусть $a,b\in X$. Тогда $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$. Таким образом, $\circ$ и $\otimes$ совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)$.

Литература

• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups