Арифметическая производная

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа $n$ является $D(n)$; оно определяется следующим образом:

Значения $D(n)$ для первых 10000 значений $n$

• $D(0)=D(1)=0$,
• $D(p)=1$ для любого простого числа $p$,
• $D(ab)=D(a)b+D(b)a$ для любых $a,b\in \mathbb{N}$ (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что $D(1)=0$, устанавливается, что $D(-1)=0$:

$0=D(1)=D((-1)\cdot (-1))=-2\cdot D(-1)⟹D(-1)=0$,

таким образом, для любого целого $n$:

$D(-n)=D((-1)\cdot n)=D(-1)n+(-1)D(n)=-D(n)$.

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

$0=D(1)=D(\frac{a}{a})=D(a)\frac{1}{a}+D(\frac{1}{a})a⟹D(\frac{1}{a})=-\frac{D(a)}{a^2}$;

отсюда следует:

$D(\frac{a}{b})=D(a)\frac{1}{b}+D(\frac{1}{b})a=\frac{D(b)a}{b^2}-\frac{D(a)}{b}=\frac{D(b)a-D(a)b}{b^2}$

Также применимо и правило производной степени функции:

$D(a^n)=n{a}^{n-1}D(a)$ для любого целого числа $a$ и $n⩾0$,

$D(p^n)=n{p}^{n-1}$ для любого простого числа $p$ и любого целого числа $n⩾0$,

$D(\frac{1}{p^n})=-\frac{n}{p^{n+1}}$ для любого простого числа $p$.