Барицентрическое подразделение

Четырёхкратное барицентрическое подразделение треугольника.

Барицентри́ческое подразделе́ние симплициального комплекса — определённый тип подразделения комплекса на более мелкие симплексы.

Определение

Барицентрическое подразделение симплициального комплекса $K$ есть симплициальный комплекс $K^{\prime }$, получающийся заменой симплексов комплекса $K$ на более мелкие путём следующего процесса:

• каждый одномерный симплекс (отрезок) делится пополам;
• в предположении, что все симплексы размерности $⩽n-1$ уже подразделены, разбиение любого n-мерного симплекса $\mathrm{\Delta }$ определяется посредством конусов над симплексами барицентрического подразделения границы $\mathrm{\Delta }$ с вершиной в барицентре симплекса $\mathrm{\Delta }$.

Свойства

• Вершины барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами исходного комплекса $K$.
• Симплексы комплекса барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными по включению конечными наборами симплексов из $K$.
  • В частности, если $K$ — n-мерный комплекс, то вершины его барицентрического подразбиения $K^{\prime }$ допускают раскраску в $n+1$ цвет (по одному цвету на размерность соответствующего симплекса в $K$) такую, что вершины соединённые ребром имеют разные цвета.
• Диаметр каждого симплекса барицентрического подразделения некоторого n-мерного симплекса не превосходит произведение диаметра исходного симплекса на $\frac{n}{n+1}$.
  • В частности, повторяя операцию барицентрического подразделения, можно сколь угодно сильно уменьшить диаметр каждого симплекса в конечном комплексе.

Литература

• Шаблон:Книга — 1152 стб.
• Шаблон:Книга — P. 119—121.

Шаблон:Geometry-stub