Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени $p(x)=x^5-1$. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций

Бассейн Ньютона, ширина поиска 1.5.

Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:

$z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f^{\prime }(z_n)}.$

Выбор начального приближения $z_0$ представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?

История

Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.

Три корня

Рассмотрим уравнение:

$p(z)=0$, $p(z)=z^3-1$

Оно имеет три корня. При выборе различных $z_0$ процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.

Построение

По следующей формуле:

$z_{i+1}=z_i-\frac{p(z_i)}{p^{\prime }(z_i)}=z_i-\frac{z_i^3-1}{3z_i^2}$

Масштабирование

Если переместить центр экрана в точку $z_0$и произвести масштабирование ($z=z_0+\frac{Z}{\alpha }$), то вместо подстановки $z$ в многочлен $P(z)$, можно изменить сам многочлен. Так как $z_{n+1}=F(z_n)=>(z_0+\frac{Z_{n+1}}{\alpha })=F(z_0+\frac{Z_n}{\alpha })$, а $F(z)=z-\frac{p(z)}{p^{\prime }(z)}=>F(z_0+\frac{Z_n}{\alpha })=z_0+\frac{Z_n}{\alpha }-\frac{p(z(Z))}{p{\text{'}}_z(z(Z))}$, то $Z_{n+1}=Z_n+\alpha \cdot \frac{p(z(Z_n)}{p{\text{'}}_z(z(Z_n)}$. Так как $p{\text{'}}_Z(z(Z))=p{\text{'}}_z(z(Z))\cdot z{\text{'}}_Z(Z)=\frac{p{\text{'}}_z(z(Z))}{\alpha }$, то $p{\text{'}}_z(z(Z))=\alpha \cdot p{\text{'}}_Z(z(Z))$.

Тогда

$Z_{n+1}=Z_n+\frac{p(z(Z_n))}{p{\text{'}}_Z(z(Z_n))}$, считая новый многочлен $P(Z)=p(z(Z))$, получаем $Z_{n+1}=Z_n+\frac{P(Z_n)}{P^{\prime }(Z_n)}$

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга
5. Шаблон:Книга
6. Шаблон:Книга
7. Шаблон:Книга
8. Шаблон:Книга
9. Шаблон:Книга
10. Шаблон:Книга
11. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
12. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
13. Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
14. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
15. Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
16. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
17. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
18. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.

Ссылки

• Красота фракталов
• Построение бассейнов Ньютона на MATLAB