Бент-функция

Бинарные бент-функции с расстоянием Хэмминга, равным 1 и нелинейностью $2^{2-1}-2^{\frac{2}{2}-1}=2-1=1$

Нелинейность бент-функции $x_1{x}_2+x_3{x}_4$ равна $2^{4-1}-2^{\frac{4}{2}-1}=8-2=6$

Бент-функция (от Шаблон:Lang-en — «изогнутый, наклонённый», ) — булева функция с чётным числом переменных, для которой расстояние Хэмминга от множества аффинных булевых функций с тем же числом переменных максимально. Бент-функции в этом смысле обладают максимальной степенью нелинейности среди всех функций с данным числом переменных и благодаря этому широко применяются в криптографии для создания шифров, максимально устойчивых к методам линейного и дифференциального криптоанализа.

В русскоязычной литературе используется близкий по смыслу термин «максимально нелинейная функция», число переменных таких функций не ограничивается чётными числами. Максимально нелинейная функция с чётным числом переменных является бент-функцией .

Определения

Расстояние Хэмминга для двух булевых функций Шаблон:Mvar переменных — количество различий в значениях этих функций на полном множестве из Шаблон:Math наборов переменных.

Шаблон:ЯкорьАффинная (линейная) булева функция — булева функция, полином Жегалкина которой не имеет нелинейных членов, то есть членов, представляющих собой конъюнкцию нескольких переменных.

Степень нелинейности булевой функции Шаблон:Math — число переменных в самом длинном слагаемом её полинома Жегалкина.

Нелинейность булевой функции Шаблон:Math — расстояние Хэмминга от данной функции до множества всех аффинных функций.

История

Бент-функции были введены в 1960-х годах Оскаром Ротхаузом (1927—2003), который в это время (с 1960 по 1966 годы) работал Институте оборонного анализа (IDA), где занимался криптографическими исследованиями. Его первая работа по бент-функциям относится к 1966 году, однако она была засекречена и в открытой печати появилась только в 1976 году.

В 1960-х годах В.А.Елисеев и О.П.Степченков занимались исследованием бент-функций в СССР, однако их работы до сих пор засекречены. Известно, что они называли бент-функции "минимальными функциями" и предложили конструкцию МакФарланда еще в 1962 году.

Свойства

Нелинейность бент-функций с числом переменных Шаблон:Mvar (Шаблон:Mvar — чётное) определяется соотношением , :

$N(f)=2^{n-1}-2^{\frac{n}{2}-1}$.

Для максимально нелинейных функций с нечётным числом переменных точное выражение для нелинейности неизвестно.

Примеры бент-функций

Ниже приведены примеры бент-функций четырёх, шести и восьми переменных.

$n=4:f_1(X)=x_1{x}_3\oplus x_2{x}_4;N(f_1)=6;$

$n=6:f_2(X)=x_1{x}_2{x}_3\oplus x_1{x}_4\oplus x_2{x}_5\oplus x_3{x}_6;N(f_2)=28;$

$n=8:f_3(X)=x_1{x}_2{x}_3\oplus x_2{x}_4{x}_5\oplus x_1{x}_2\oplus x_1{x}_4\oplus x_2{x}_6\oplus x_3{x}_5\oplus x_4{x}_5\oplus x_7{x}_8;N(f_3)=120;$

$n=8:f_4(X)=x_1{x}_2{x}_3\oplus x_2{x}_4{x}_5\oplus x_3{x}_4{x}_6\oplus x_1{x}_4\oplus x_2{x}_6\oplus x_3{x}_4\oplus x_3{x}_5\oplus x_3{x}_6\oplus x_4{x}_5\oplus x_4{x}_6\oplus x_7{x}_8;N(f_4)=120.$

Монография

В книге приведен детальный обзор результатов в области бент-функций. Рассматривается история открытия бент-функций, описываются их приложения в криптографии и дискретной математике. Исследуются основные свойства и эквивалентные представления бент-функций, классификации бент-функций от малого числа переменных, комбинаторные и алгебраические конструкции бент-функций, связь бент-функций с другими криптографическими свойствами. Изучаются расстояния между бент-функциями и группа автоморфизмов бент-функций. Рассматриваются верхние и нижние оценки числа бент-функций и гипотезы о его асимптотическом значении. Приводится детальный систематический обзор 25 различных обобщений бент-функций, рассматриваются открытые вопросы в данной области. Книга 2015 года содержит более 125 теорем о бент-функциях и существенно расширяет книгу , опубликованную в 2011 году.