Березиниан

В математике и теоретической физике, березиниан или супердетерминант является обобщением определителя на случай суперматриц. Назван в честь Феликса Березина. Березиниан играет роль, аналогичную определителю, когда рассматриваются изменения координат для интеграции на супермногообразии.

Определение

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• $\mathrm{Ber}(XY)=\mathrm{Ber}(X)\mathrm{Ber}(Y)$
• $\mathrm{Ber}(e^X)=e^{\mathrm{str(X)}}$

где str(X) обозначает суперслед от X. В отличие от классического определителя, березиниан определён только для обратимых суперматриц.

Свойства

• Березиниан из X всегда является единицей кольца R₀.
• $\mathrm{Ber}(X{)}^{-1}=\mathrm{Ber}(X^{-1})$
• $\mathrm{Ber}(X^T)=\mathrm{Ber}(X)$ где $X^T$ обозначает супертранспозицию X.
• $\mathrm{Ber}(X\oplus Y)=\mathrm{Ber}(X)\mathrm{B}\mathrm{e}\mathrm{r}(Y)$