Биметрические теории гравитации

Двумерные модели расширяют общую теорию относительности, чтобы точно объяснить природу тёмной материи и тёмной энергии

Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может зависеть от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).

Биметрическая теория Розена

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору $g_{ij}$ евклидов метрический тензор ${\gamma }_{ij}$ . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

$d{s}^2=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$

$d{\sigma }^2={\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$

Первый метрический тензор $g_{ij}$ описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор ${\gamma }_{ij}$ относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из $g_{ij}$ и ${\gamma }_{ij}$, обозначим ${\{}_{jk}^i\}$ и ${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i$ соответственно. $\mathrm{\Delta }$ определим таким образом, чтобы

${\mathrm{\Delta }}_{jk}^i={\{}_{jk}^i\}-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i(1)$

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: $g$-дифференцирование, основанное на $g_{ij}$ — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе ${\gamma }_{ij}$ — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). $R_{ij\sigma }^{\lambda }$ и $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из $g_{ij}$ и ${\gamma }_{ij}$ соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда ${\gamma }_{ij}$ описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны $P_{ij\sigma }^{\lambda }$ равен нулю.

Из (1) следует, что хотя ${\{}_{jk}^i\}$ и $\mathrm{\Gamma }$ не являются тензорами, но $\mathrm{\Delta }$ — тензор, имеющий такую же форму, как ${\{}_{jk}^i\}$, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к

$R_{ijk}^h=-{\mathrm{\Delta }}_{ij/k}^h+{\mathrm{\Delta }}_{ik/j}^h+{\mathrm{\Delta }}_{mj}^h{\mathrm{\Delta }}_{ik}^m-{\mathrm{\Delta }}_{mk}^h{\mathrm{\Delta }}_{ij}^m$

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив ${\{}_{jk}^i\}$ на $\mathrm{\Delta }$, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, $\sqrt{-g}$ на $\sqrt{\frac{g}{\gamma }}$, элемент интегрирования $d^{4}x$ на $\sqrt{-\gamma }{d}^{4}x$, где $g=det(g_{ij})$, $\gamma =det({\gamma }_{ij})$ и $d^{4}x=d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^{3}d{x}^4$. Необходимо отметить, что, как только мы ввели ${\gamma }_{ij}$ в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

$\frac{d^{2}x}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i\frac{d{x}^j}{ds}\frac{d{x}^k}{ds}+{\mathrm{\Delta }}_{jk}^i\frac{d{x}^j}{ds}\frac{d{x}^k}{ds}=0(2)$

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что $\mathrm{\Gamma }$ описывает инерциальное поле, поскольку $\mathrm{\Gamma }$ исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же $\mathrm{\Delta }$ быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что $\mathrm{\Delta }$ описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

$K_j^i=N_j^i-\frac{1}{2}{\delta }_j^{i}N=-8\pi \kappa T_j^i(3)$

где

$N_j^i=\frac{1}{2}{\gamma }^{\alpha \beta }(g^{hi}{g}_{hj/\alpha }{)}_{/\beta }$

или

$N_j^i={\gamma }^{\alpha \beta }\{(g^{hi}{g}_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m),\beta \}-{\gamma }^{\alpha \beta }({\mathrm{\Gamma }}_{j\alpha }^i),\beta +{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \beta }^i[g^{h\lambda }{g}_{hj},\alpha -g^{h\lambda }{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{j\alpha }^{\lambda }]-{\mathrm{\Gamma }}_{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}{g}_{h\lambda },\alpha -g^{hi}{g}_{m\lambda }{\mathrm{\Gamma }}_{h\alpha }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \alpha }^i]$

$+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}{g}_{hj},\lambda -g^{hi}{g}_{mj}{\mathrm{\Gamma }}_{h\lambda }^m-{\mathrm{\Gamma }}_{j\lambda }^i]$

$N=g^{ij}{N}_{ij},\kappa =\sqrt{\frac{g}{\gamma }},$

и $T_j^i$ — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

$T_{j;i}^i=0.$

Поэтому из (3)

$K_{j;i}^i=0,$

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к $g_{ij}$. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

• Распространение электромагнитных волн
• Внешнее поле звёзд высокой плотности
• Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка