Бицентрическая система координат

Бицентрические координаты — система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов).

Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами, хотя в некоторых источниках термин «биполярные координаты» используется для барицентрических или биангулярных координат.

Канонические формулы для перевода координат (здесь подразумевается, что полюса имеют координаты $(\pm c;0)$):

$\{\begin{array}{c}x=\frac{r_1^2-r_2^2}{4c}\\ y=\pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2{r}_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2{)}^2}\end{array}$

Следующие формулы переводят бицентрические координаты в полярные координаты:

$\{\begin{array}{c}r=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}\\ \theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left[\sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]\end{array}$

где $2c$ — расстояние между полюсами.

В общем случае, если полюса имеют произвольные координаты, формулы перевода преобразуются в:

$\{\begin{array}{c}x=\pm \frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\cos \alpha \pm \frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\sin \alpha +x_1\\ y=\pm \frac{r^2+r_1^2-r_2^2}{2r}\sin \alpha \mp \frac{\sqrt{(r_1+r_2+r)(r_1-r_2-r)(r_2-r_1-r)(r_1+r_2-r)}}{2r}\cos \alpha +y_1\end{array}$.

Где $r$ — расстояние между полюсами,

$r_1$ — расстояние до первого полюса,

$r_2$ — расстояние до второго полюса,

$(x_1;y_1)$ — координаты первого полюса,

$(x_2;y_2)$ — координаты второго полюса,

$\alpha =\mathrm{arctg}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угол наклона прямой, проходящей через координаты $(x_1,y_1);(x_2,y_2)$, относительно оси абсцисс.

Получаемые по данным формулам четыре пары координат следует проверять на выполнение условия:

$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}=r_1$

и

$\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}=r_2$

Только две пары координат из четырёх будут удовлетворять этим условиям.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld