Вариация множества

Вариация множества — число, характеризующее $k$-мерную протяженность множества в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Нулевая вариация множества $V_0(E)$ замкнутого ограниченного множества $E$ — это число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка $V_1(E)$ называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:

$V_1(E)=c\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{\Phi }(\alpha ,E)d\alpha$

от функции

$\mathrm{\Phi }(\alpha ,E)=\underset{{\mathrm{\Pi }}_{\alpha }}{\int }{V}_0(E\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha ,z}^{\perp })dz,$

где интегрирование ведётся по прямой ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }$, проходящей через начало координат;

$\alpha$ — угол наклона ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }$ к фиксированной оси; ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha ,z}^{\perp }$ — прямая, перпендикулярная к ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }$ и пересекающая её в точке $z$.

Нормирующая константа $c$ выбирается так, чтобы вариация $V_1(E)$ отрезка $E$ совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области $E$ со спрямляемой границей $\mathrm{\Gamma }$ линейная вариация множества $V_1(E)$ равна половине длины $\mathrm{\Gamma }$.

Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества $E$. При $k>2$ $V_k(E)=0$.

Для $n$-мерного евклидова пространства вариацией $V_i(E)$ порядка $i=0,1,\dots ,n$ ограниченного замкнутого множества $E$ называется интеграл $V_k(E)=\underset{{\mathrm{\Omega }}_k^n}{\int }{V}_0(E\cap \beta )d{\mu }_{\beta }$ от нулевой вариации пересечения $E$ с $(n-k)$-мерной плоскостью $\beta$ по пространству ${\mathrm{\Omega }}_k^n$ всех $(n-k)$-мерных плоскостей из $R_n$, с мерой Хаара $d{\mu }_{\beta }$, нормированной так, чтобы единичный $k$-мерный куб $J_k$ имел вариацию множества $V_k(J_k)=1$.

Вариация множества $V_n(E)$ совпадает с $n$-мерной мерой Лебега множества $E$. Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского.

Свойства вариации множества

• Для $E\subset R_n\subset R_{n^{\prime }}$ вариация множества $V_k(E)$ не зависит от того, вычисляется она для $E\subset R_n$ или для $E\subset R_{n^{\prime }}$.
• Для вариаций множеств справедлива следующая формула:

$\underset{{\mathrm{\Omega }}_k^n}{\int }{V}_i(E\cap \beta )d{\mu }_{\beta }=c(n,k,i)V_{k+i}(E),k+i⩽n,$

где $c(n,k,i)$ — нормирующая константа.

• Из $V_i(E)=0$ следует, что $V_{i+1}(E)=0$.
• Для любой последовательности чисел $a_0,a_1,\dots ,a_n$, где $a_0>0$ — целое, $0<a_i⩽\mathrm{\infty }$, $i=1,2,\dots ,n-1$; $a_n=0$, можно построить множество $E\subset R_n$, для которого $V_i(E)=a_i$, $i=0,l,2,\dots ,n$. В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
• $V_i(E_1\cup E_2)=V_2(E_i)+V_i(E_2)$, если $E_1$ и $E_2$ не пересекаются. В общем случае

$V_i(E_1\cup E_2)⩽V_2(E_i)+V_i(E_2).$

Для $i=0,2,\dots ,n-1$ вариации множества $V_i$ не монотонны, то есть может оказаться, что $V_i(E_1)<V_i(E_2)$ для $E_1\supset E_2$.

• Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств $E_k$ сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству $E$, то

$V_0(E)⩽\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{V}_0(E_n).$

Если $V_0(E_k)+\dots +V_{i-1}(E_k)$ равномерно ограничены суммы, то

$V_i(E)⩽\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{V}_i(E_n),i=1,2,\dots ,n.$

• Вариация множества $V_k(E)$ совпадает с $k$-мерной мерой Хаусдорфа множества $E$, если $V_{k+1}(E)=0$, а

$V_0(E)+V_1(E)+\dots +V_k(E)<\mathrm{\infty }.$

Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.

История

Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных, а также в вопросах аппроксимацииШаблон:Sfn.

Литература

• Витушиин А. Г. Доклады АН СССР. — 1966. — т. 166. — № 5. — с. 1022—1025.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1967. — т. 72(114). — № 3. — с. 445—470.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1969. — т. 78(120). — № 1. — с. 85—100.
• Шаблон:Книга