Вариация отображения

Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.

Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом.

Двухмерный случай

Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.

Пусть дано отображение

$\alpha :x=f(u,v),y=\phi (u,v),$

где $f(u,v)$ и $\phi (u,v)$ — непрерывные на квадрате $D_0=[0,1]\times [0,1]$ функции. Говорят, что отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, если существует число $M>0$ такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов $D^i\subset D_0(i=1,2,\dots )$ со сторонами, параллельными осям координат $u,v$, справедливо неравенство

$\sum _i\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}{D}_{xy}^i⩽M,$

где $D_{xy}$ — образ множества $D^i\subset D_0$ при отображении $\alpha$,

$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}D$ — плоская мера Лебега множества $D$.

Численное значение вариации отображения $V(\alpha )$ может быть определено различными способами. Например, если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то его вариация $V(\alpha )$ может быть определена по формуле:

$V(\alpha )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\iint }}N(s,t)dsdt,$

где $N(s,t)$ — число решений системы $f(u,v)=s,\phi (u,v)=t$, или так называемая индикатриса Банаха отображения $\alpha$.

Было показано, что если отображение $\alpha$ имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на $D_0$ существует обобщённый якобиан $J(P)$, где $P\subset D_0$, который интегрируем на $D_0$. При этом

$J(P)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}{K}_{xy}}{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K},$

где $K\subset D_0$ — квадрат, содержащий точку $P\subset D_0$, стороны которого параллельны осям $u,v$;

$K_{xy}$ — образ множества $K$;

$\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}K$ — плоская мера Лебега множества $K$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.