Веер Кнастера — Куратовского

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским.

Построение

Рассмотрим прямоугольник

$S=[0;1]\times [0;\frac{1}{2}]$

Построим на его нижнем ребре канторово множество $C$ и обозначим через $A$ множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через $B$ все остальные точки из $C$. Пусть $L_c$ это отрезок прямой, соединяющий точку $c\in C$ с точкой $s=(\frac{1}{2};\frac{1}{2}).$

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество $X=Q\cup I$, где

$Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_c,c\in A,y\in \mathbb{Q}\}$

$I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_c,c\in B,y\notin \mathbb{Q}\}.$

Обоснование

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества $Y$ и $Z$ такие, что $X=Y\cup Z$ и при этом $\bar{Y}\cap Z=Y\cap \bar{Z}=\mathrm{\varnothing }$. Для определённости будем считать, что $s\in Y$. Обозначим за $u_c$ точку из $L_c$, с $y$-координатой равной точной верхней грани $y$-координат всех точек, входящих в $Z\cap L_c$. Если же $Z\cap L_c$ пусто, будем считать, что $u_c=c$. Очевидно, что $u_c$ не может принадлежать $X\setminus C$, так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для $Y$ так и для $Z$, что противоречит предположению несвязности. То есть, $\mathrm{\forall }c\in C{u}_c\in A\subset X$ или $u_c\notin X$.

Пусть $\{r_i\}$ — все рациональные числа отрезка $[0;1]$, обозначим:

$P_i=\{c\in B:\mathrm{\exists }{u}_c=(x,r_i)\},P=\cup P_i,T=\{c\in B:c=u_c\}$

Тогда $B=T\cup P$, то есть $C=A\cup T\cup P$. Заметим, что $P_i$ нигде не плотны в $C$, иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с $C$ лежало бы в $P_i$, но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из $A$ в то время как $P_i\subset B=C\setminus A$.

Множество $C$ является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество $C$ также второй категории. Но $P\cup A$ первой категории ($A$ счётно, а $P$ является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве $C$ обязаны лежать точки из $T$; то есть $T$ плотно в $C$.

Теперь допустим, что $z\in Z$. В силу плотности $T$ в $C$, любое открытое множество, содержащее $z$, содержит также и некоторый сегмент отрезка $L_t$ для какого-то $t\in T$. По определению множества $T$ имеем $(X\cap L_t)\setminus \{t\}\subset Y$, это значит, что $z\in \bar{Y}$. Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества $X$ ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки $s$ делает $X$ вполне несвязным. Предположим, что $V\subset X\setminus \{s\}$ связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента $L_c$ (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество $L_c\cap (X\setminus \{s\})$ вполне несвязно, значит, и $V$ вполне несвязно.

Литература

• Шаблон:Книга
• Steen, Seebach. Counterexamples in Topology