Внешне не связанные уравнения

Вне́шне несвя́занные уравне́ния (Шаблон:Lang-en — система эконометрических уравнений, каждое из которых является самостоятельным уравнением со своей зависимой и объясняющими экзогенными переменными. Модель предложена Зельнером в 1968 году. Важной особенностью данных уравнений является то, что несмотря на кажущуюся несвязанность уравнений их случайные ошибки предполагаются коррелированными между собой.

Математическая модель

Пусть имеется m эконометрических линейных уравнений, каждое из которых в матричной форме можно записать следующим образом:

$y_i=X_i{b}_i+{\epsilon }_i,i=1,\dots ,m$

Предполагается, что случайная ошибка каждого уравнения удовлетворяет классическим предположениям об отсутствии гетероскедастичности и автокорреляции, то есть ковариационная матрица вектора случайных ошибок каждого уравнения имеет вид: $V({\epsilon }_i)={\sigma }_i^2{I}_n$. Тем не менее, может иметь место корреляция случайных ошибок между уравнениями (в одном и том же наблюдении). Кроме того, дисперсии случайных ошибок в разных уравнениях, вообще говоря, не одинаковы. Обозначим ковариации между случайными ошибками в разных уравнениях ${\sigma }_{ij}$. Тогда для каждого наблюдения вектор случайных ошибок уравнений имеет ковариационную матрицу $\mathrm{\Sigma }=[{\sigma }_{ij}]$.

Введём обозначения

$y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_m\end{array}\right),$ $X=\left(\begin{array}{cccc}{X}_1& 0& \dots & 0\\ 0& X_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & X_m\end{array}\right),$ $b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right),$ $\epsilon =\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ ⋮\\ {\epsilon }_m\end{array}\right)$

Тогда можно модель представить в следующем виде, аналогичном обычной линейной регрессии:

$y=Xb+\epsilon$

Ковариационная матрица вектора случайных ошибок такой модели будет иметь блочный вид, каждый из блоков которой равен ${\sigma }_{ij}{I}_n$. Это упрощённо можно записать через матрицу $\mathrm{\Sigma }$ с помощью произведения Кронекера:

$V(\epsilon )=\mathrm{\Sigma }\otimes I_n$

Методы оценки

Поскольку каждое уравнение по предположению удовлетворяет классическим предположениям, то можно применить обычный метод наименьших квадратов для оценки их параметров. Однако, такой подход не учитывает дополнительную информацию о корреляциях между уравнениями. Более эффективные оценки можно получить, если использовать обобщённый метод наименьших квадратов:

${\hat{b}}_{SUR}={\left(X^T{V}^{-1}X\right)}^{-1}{X}^T{V}^{-1}y,V^{-1}={\mathrm{\Sigma }}^{-1}\otimes I_n$

Однако, проблема применения обобщённого МНК, как известно, заключается в неизвестности ковариационной матрицы ошибок, в данном случае матрицы $\mathrm{\Sigma }$. Поэтому используется следующая двухшаговая процедура доступного обобщённого МНК (FGLS). На первом шаге применяется обычный МНК и находятся остатки уравнений. На основании этих остатков оценивается матрица $\mathrm{\Sigma }$ : ${\hat{\sigma }}_{ij}=e_i^T{e}_j/n$ и далее применяется обобщённый МНК. Теоретически процедуру можно продолжить итеративно используя вновь полученные остатки для повторной оценки ковариационной матрицы и применения обобщённого МНК.

Полученные таким образом оценки являются состоятельными и асимптотически нормальными. Очевидно, если матрица $\mathrm{\Sigma }$ диагональна, то есть когда случайные ошибки разных уравнений не коррелируют между собой, то такие оценки совпадут с оценками обычного МНК. То же самое имеет место, когда все уравнения содержат один и тот же набор переменных, то есть $X_1=X_2=...=X_m$.

Кроме указанных основных подходов возможно также применение метода максимального правдоподобия при предположении о нормальности распределения случайных ошибок.

См. также

• Система одновременных уравнений
• Метод наименьших квадратов