Вторая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ и может быть сформулирована в разных формах. Данные ниже формулы в виде лемм обычно называют формулами Бонне и используют при доказательстве теоремы о среднем значении.

Лемма 1. Если функция f(x) не возрастает и $f(x)⩾0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}g(x)dx$.

Лемма 2. Если функция f(x) не убывает и $f(x)⩾0$ на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(b)\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.

Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка $\xi \in [a,b]$ такая, что $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(a)\underset{a}{\overset{\xi }{\int }}g(x)dx+f(b)\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}g(x)dx$.