Гармоническая прогрессия

первые десять членов гармонической последовательности $a_n=\frac{1}{n}$.

В математике гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность) — это прогрессия, образованная обратными элементами арифметической прогрессии.

Эквивалентное определение — это бесконечная последовательность вида

$\frac{1}{a},\frac{1}{a+d},\frac{1}{a+2d},\frac{1}{a+3d},\cdots ,$

где a не равно нулю и −a/d не натуральное число, или конечная последовательность вида

$\frac{1}{a},\frac{1}{a+d},\frac{1}{a+2d},\frac{1}{a+3d},\cdots ,\frac{1}{a+kd},$

где a≠0, k — натуральное число −a/d — не натуральное число или больше k.

Примеры

• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
• 12, 6, 4, 3, $\frac{12}{5}$, 2, … , $\frac{12}{n}$, …
• 30, −30, −10, −6, − $\frac{30}{7}$, … , $\frac{10}{1-\frac{2n}{3}}$
• 10, 30, −30, −10, −6, − $\frac{30}{7}$, … , $\frac{10}{1-\frac{2(n-1)}{3}}$

Сумма гармонической прогрессии

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (в смысле бесконечной суммы).

Для гармонической прогрессии невозможно при различных единицах дробей (кроме случаев с a = 1 и k = 0) иметь сумму, равную целому числу. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии будет делиться на натуральное число, на которое не делится любой другой знаменатель.