Геодезические задачи

Геодезическая задача — математическая задача, связанная с определением взаимного положения точек (координат) принадлежащих какой-либо поверхности. Геодезические задачи подразделяются на прямую, обратную и задачу Потенота.

Прямая геодезическая задача (ПГЗ)

Прямая геодезическая задача (прямая линейно-угловая засечка) заключается в том, что по известным координатам одной точки, вычисляют координаты другой точки, для чего необходимо знать горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и ориентирный (дирекционный) угол этой линии.

Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:

$\{\begin{array}{c}{X}_2=X_1+\mathrm{\Delta }X\\ Y_2=Y_1+\mathrm{\Delta }Y\end{array}$

Далее определяются приращениями координат из решения прямоугольных треугольников.

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }X=S*\cos \alpha \\ \mathrm{\Delta }Y=S*\sin \alpha \end{array}$

Обратная геодезическая задача (ОГЗ)

Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек вычисляют горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками и дирекционный угол этой линии.

Дирекционный угол направления на ориентир может быть вычислен путём решения обратной геодезической задачи если известны плоские прямоугольные координаты исходной точки и ориентира.

Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:

1) вычисляют приращения координат:

$\mathrm{\Delta }X=X_2-X_1.$

$\mathrm{\Delta }Y=Y_2-Y_1.$

2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии:

$\mathrm{t}\mathrm{g}r=\frac{\mathrm{\Delta }Y}{\mathrm{\Delta }X}$.

откуда

$r=\mathrm{arctg}\frac{\pm \mathrm{\Delta }Y}{\pm \mathrm{\Delta }X}$

3) по знакам приращений координат и по известному румбу линии определяют дирекционный угол линии

№	Четверть (направление)	связь румба и дирекционного угла	Знак приращения $\mathrm{\Delta }X$	Знак приращения $\mathrm{\Delta }Y$
1	северо-восток	$\alpha =r$	+	+
2	юго-восток	$\alpha =180-r$	-	+
3	юго-запад	$\alpha =180+r$	-	-
4	северо-запад	$\alpha =360-r$	+	-

4) определяют горизонтальное проложение (длину линии)

$S=\frac{\mathrm{\Delta }X}{\cos \alpha }$

$S=\frac{\mathrm{\Delta }Y}{\sin \alpha }$

$S=\sqrt{\mathrm{\Delta }{X}^2+\mathrm{\Delta }{Y}^2}$.

Задача Потенота

Шаблон:Maincat Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем более общей задачи трилатерации. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня) и не потеряла актуальности по настоящее время.

Дополнительная литература

• Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) // Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
• Шаблон:Книга