Гипотеза Зарисского

Гипотеза Зарисского

Обозначим через $ℂ[X_1,X_2,...,X_n]$ множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных $X_1,X_2,...,X_n$. Пусть в $ℂ[X_1,X_2,...,X_n]$ выбрано подмножество $A$, содержащее все константы $C$ и обладающее следующими свойствами: если $f,g\in A$, то $f-g$ и $fg$ лежат в $A$. Предположим, что существует такой многочлен $T\in ℂ[X_1,X_2,...X_m]$, что каждый элемент $f$ из $ℂ[X_1,X_2,...X_m]$ представляется в виде многочлена $f=a_0+a_{1}T+a_2{T}^2+...+a_m{T}^m,a_0,a_1,...a_m\in A,$, где $m$ зависит от $f$. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены $T_1,T_2,...,T_{n-1}\in ℂ[X_1,X_2,...X_m]$, что каждый элемент $f$ из $ℂ[X_1,X_2,...X_m]$ представляется в виде многочлена от $T_1,T_2,...,T_{n-1},T$. Гипотеза Зарисского доказана для $n=2$ и $n=3$. Для случая $n>3$ её никому доказать не удалось.

Литература

• В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001