Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов $P(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$ при значениях аргумента $\omega$, являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных $n=1,2,\dots$. Назовем высотой полинома величину $h(P)=\max (|a_0|,|a_1|,\dots ,|a_n|)$ и предположим, что она возрастает. Обозначим $w_n(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$. Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам $P$ степени не более $n$, высоты не более $H$ и с условием $P(\omega )\ne 0$. Обозначим $w_n(\omega )=\overline{\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }}\frac{\ln \frac{1}{w_n(\omega ,H)}}{\ln H}$$w(\omega )=\overline{\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }}\frac{1}{n}{w}_n(\omega )$. Пусть $\omega$ — трансцендентное число. Введем обозначения: ${\mathrm{\Theta }}_n(\omega )=\frac{1}{n}{w}_n(\omega )$ — для вещественных чисел, ${\eta }_n(\omega )=\frac{1}{n}{w}_n(\omega )$ — для комплексных чисел, $\mathrm{\Theta }(\omega )=\underset{(n)}{\sup }{\mathrm{\Theta }}_n(\omega )$, где $n=1,2,\dots$, $\eta (\omega )=\underset{(n)}{\sup }{\eta }_n(\omega )$, где $n=2,3,\dots$.

Гипотеза Малера утверждает, что $\mathrm{\Theta }(\omega )=1$, $\eta (\omega )=\frac{1}{2}$Шаблон:Sfn.

Доказательство

Доказательство есть в статье.

Литература

• Шаблон:Книга