Гипотеза Нагаты

Гипотеза Нагаты — доказанная математическая гипотеза, согласно которой автоморфизм НагатыШаблон:Переход полиномиального кольца $k[x,y,z]$ является дикимШаблон:Переход.

Выдвинута Масаёси Нагатой в 1972 году и доказана Иваном Шестаковым и его учеником Уалбаем Умирбаевым в 2004 году, за что соавторы получили премию Мура Американского математического общества в 2007 году.

Шаблон:ЯкорьГипотеза формулируется для кольца многочленов $C=k[x_1,x_2,...,x_n]$ от переменных $x_1,x_2,...,x_n$ над полем $k$, и группы автоморфизмов $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}C$ как алгебры над $k$. Автоморфизм $\tau \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}C$ называется элементарным, если он имеет вид:

$\tau :(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots ,x_n)\to (x_1,\dots ,x_{i-1},\alpha x_i+f,x_{i+1},\dots ,x_n)$,

где $0\ne \alpha \in F,f\in F[x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n]$. Подгруппа $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}C$, порождённая всеми элементарными автоморфизмами, называется ручной подгруппой, а элементы из этой подгруппы называются ручными автоморфизмами алгебры $C$. Автоморфизмы алгебры $C$, не являющиеся ручными, называются дикими.

Автоморфизмы колец многочленов и свободных ассоциативных алгебр от двух переменных являются ручными.

Шаблон:ЯкорьАвтоморфизм Нагаты задаётся формулой:

$\varphi (x,y,z)=(x-2\mathrm{\Delta }y-{\mathrm{\Delta }}^{2}z,y+\mathrm{\Delta }z,z)$,

где $\mathrm{\Delta }=xz+y^2$ и этот автоморфизм является диким.

Если же $(a,b,c)=\varphi (x,y,z)$, то $z=c$ и $\mathrm{\Delta }=b^2+ac$, здесь $y=b-\mathrm{\Delta }c$ и $x=a+2\mathrm{\Delta }y+{\mathrm{\Delta }}^{2}z$.

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation