Гипотеза Рассиаса

Гипотеза Рассиаса — это открытая проблема, связанная с простыми числами. Гипотезу высказал Михаэль Т. Рассиас, когда готовился к Международной математической олимпиаде Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Гипотеза утверждает следующее:

Для любого простого

p > 2

существуют два простых

p_{1} < p_{2}

, таких, что

p = \frac{p_{1} + p_{2} + 1}{p_{1}}

Связь с другими открытыми проблемами

Гипотезу Рассиаса можно сформулировать в эквивалентной форме:

Для любого простого числа

p > 2

существуют простые

p_{1} < p_{2}

, такие, что

p_{2} = (p - 1) p_{1} - 1 .

Эта переформулировка показывает, что гипотеза является комбинацией проблемы обобщённых чисел Софи Жермен

p_{2} = 2 a p_{1} - 1

с дополнительным условием, что $2 a + 1$ должно быть тоже простымШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Это делает гипотезу частным случаем гипотезы Диксона. Заметим, что гипотеза Диксона (и её обобщение, Гипотеза H) появились раньше гипотезы Рассиаса. См. предисловие Преды МихайлескуШаблон:Sfn для сравнения гипотезы Рассиаса с другими известными гипотезами и открытыми проблемами теории чисел.

С гипотезой связаны также последовательности Куннингама, т.е. последовательности простых $p_{i + 1} = m p_{i} + n, i = 1, 2, \dots, k - 1,$ для фиксированных взаимно простых положительных целых $m, n > 1$ . В отличие от прорыва Бена Грина и Теренса Тао Шаблон:Sfn на простых арифметических прогрессиях, не известны результаты на больших последовательностях Куннингама. Гипотеза Рассиаса эквивалентна существования последовательностей Куннингама с параметрами $2 a, - 1$ for $a$ , такого, что $2 a - 1 = p$ является простымШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.