Гипотезы о кубоидах

Гипотезы о кубоидах — совокупность из трёх математических утверждений о неразложимости трёх многочленов с целыми коэффициентами от одной переменной, зависящими от нескольких целых параметров. По состоянию Шаблон:На остаются в статусе гипотез — ни доказаны, ни опровергнуты.

Шаблон:ЯкорьПервая гипотеза о кубоидах: для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел $a\ne u$ многочлен восьмой степени:

$P_{au}(t)=t^8+6(u^2-a^2)t^6+(a^4-4a^2{u}^2+u^4)t^4-6a^2{u}^2(u^2-a^2)t^2+u^4{a}^4$

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$.

Шаблон:ЯкорьВторая гипотеза о кубоидах: для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел $p\ne q$ многочлен десятой степени:

$\begin{array}{cc}{Q}_{pq}(t)=& t^{10}+(2q^2+p^2)(3q^2-2p^2)t^8\\ & +(q^8+10p^2{q}^6+4p^4{q}^4-14p^6{q}^2+p^8)t^6\\ & -p^2{q}^2(q^8-14p^2{q}^6+4p^4{q}^4+10p^6{q}^2+p^8)t^4\\ & -p^6{q}^6(q^2+2p^2)(-2q^2+3p^2)t^2\\ & -q^{10}{p}^{10}\end{array}$}}

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$.

Шаблон:ЯкорьТретья гипотеза о кубоидах: для любых трёх положительных взаимнопростых целых чисел $a$, $b$ и $u$, таких что ни одно из условий:

$\begin{array}{ccc}\text{1)}a=b;& \text{3)}bu=a^2;& \text{5)}a=u;\\ \text{2)}a=b=u;& \text{4)}au=b^2;& \text{6)}b=u\end{array}$|ref=3}}

не выполняется, многочлен двенадцатой степени:

$\begin{array}{cc}{P}_{abu}(t)=& t^{12}+(6u^2-2a^2-2b^2)t^{10}\\ & +(u^4+b^4+a^4+4a^2{u}^2+4b^2{u}^2-12b^2{a}^2)t^8\\ & +(6a^4{u}^2+6u^2{b}^4-8a^2{b}^2{u}^2-2u^4{a}^2-2u^4{b}^2-2a^4{b}^2-2b^4{a}^2)t^6\\ & +(4u^2{b}^4{a}^2+4a^4{u}^2{b}^2-12u^4{a}^2{b}^2+u^4{a}^4+u^4{b}^4+a^4{b}^4)t^4\\ & +(6a^4{u}^2{b}^4-2u^4{a}^4{b}^2-2u^4{a}^2{b}^4)t^2+u^4{a}^4{b}^4.\end{array}$

неприводим над кольцом целых чисел $\mathbb{Z}$.

Гипотезы связаны с задачей о совершенном кубоидеШаблон:SfnШаблон:Sfn: хотя они и не эквивалентны ей, но если все три эти гипотезы верны, то совершенных кубоидов не существует.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья