Голигон

Голигон — это любой многоугольник, в котором все углы прямые, а длины сторон являются последовательными целыми числами (от 1 до n). Голигоны придумал (и дал им название) Шаблон:Не переведено 5, а популяризовал Шаблон:Не переведено 5 в колонке 1990 года в журнале Scientific American Шаблон:Sfn. Вариации определения голигонов позволяют сторонам пересекаться, иметь в качестве длин сторон любые целые числа (не обязательно последовательные) и иметь углы, отличные от 90°Шаблон:Sfn.

Свойства

В любом голигоне все горизонтальные стороны имеют одинаковую чётность, то же верно и для вертикальных сторон. Таким образом, число сторон n должно быть решением системы уравнений

\pm 1 \pm 3 \dots \pm (n - 1) = 0

\pm 2 \pm 4 \dots \pm n = 0 .

откуда следует, что n должно делиться на 8.

Число различных голигонов (с разрешением пересечения сторон) с заданным допустимым значением n можно вычислить эффективно с помощью генерирующих функций (Шаблон:OEIS). Число голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288, и т. д.^[1]. Поиск числа голигонов с непересекающимися сторонами существенно более сложная задача.

Существует единственный восьмисторонний голигон (показан на рисунке). Этот голигон может замостить плоскость (с поворотом на 180 градусов, см. статью «Критерий Конвея»).

Обобщения

Равноугольник с последовательными длинами сторон порядка n — это замкнутый многоугольник с постоянными углами в каждой вершине, имеющий последовательные длины сторон 1, 2, …, n. Многоугольник может иметь самопересеченияШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Трёхмерное обобщение голигона называется голигранником — это замкнутое односвязное тело, ограниченное гранями кубической решётки с площадями граней 1, 2, …, n для некоторого целого числа n^[2]. Были найдены голигранники со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимальное значение)^[3].