Двойное векторное произведение

Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другие названия: тройное векторное произведение; векторно-векторное произведение) $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$ векторов $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ — векторное произведение вектора $\overrightarrow{a}$ на векторное произведение векторов $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}:$

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]].$

В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройнымШаблон:SfnШаблон:Sfn (по числу векторов, обычно в англоязычных и переводных источниках), так и двойнымШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или векторно-векторнымШаблон:Sfn (по числу операций умножения, обычно в оригинальных русскоязычных источниках).

Свойства

Формула Лагранжа

Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:

$[\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\left]\right]=\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}),$

которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».

Тождество Якоби

Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}]+[\overrightarrow{c},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0},$

которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:

$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})-\overrightarrow{c}(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})+\overrightarrow{a}(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b})-\overrightarrow{b}(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}).$

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

См. также

• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение