Двухшаговый метод наименьших квадратов

Двухшаговый метод наименьших квадратов (Двухшаговый МНК, ДМНК,TSLS, 2SLS — Шаблон:Lang-en) — метод оценки параметров эконометрических моделей, в частности систем одновременных уравнений, состоящий из двух этапов (шагов), на каждом из которых применяется метод наименьших квадратов.

Двухшаговый МНК тесно связан с методом инструментальных переменных. Иногда его и называют обобщённым или просто методом инструментальных переменных. При оценке одиночных уравнений используются дополнительные (инструментальные) переменные, в модели непосредственно не участвующие. Их использование связано с тем, что часть факторов модели могут не удовлетворять требованию экзогенности. При оценке систем одновременных уравнений обычно инструментами являются экзогенные переменные системы.

Сущность метода

Пусть X — множество факторов эконометрической модели, часть которых могут быть эндогенными, часть экзогенными. Пусть также дано множество экзогенных для модели переменных Z (часть из них может участвовать в модели, а часть нет). Количество инструментов должно быть не меньше количества исходных факторов модели.

Процедура двухшагового МНК заключается в следующем:

Шаг 1. Обычным МНК оценивается регрессия факторов X на инструменты $X=ZB+U$. Оценки параметров этой модели, очевидно, равны:

${\hat{B}}_{OLS}=(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^{T}X$.

В результате получаем следующие оценки исходных переменных:

$\hat{X}=Z\hat{B}=Z(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^{T}X=P_{Z}X,P_Z=Z(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^T$

Шаг 2. На втором этапе оценивается (также обычным МНК) исходная модель с заменой факторов модели на их оценки, полученные на первом шаге:

${\hat{b}}_{TSLS}=({\hat{X}}^T\hat{X}{)}^{-1}{\hat{X}}^{T}y=(X^T{P}_Z^T{P}_{Z}X{)}^{-1}{X}^T{P}_Z^{T}y$

Учитывая, что $P_Z^T=P_Z,P_Z^T{P}_Z=P_Z$ окончательно получаем формулу оценок двухшагового МНК:

${\hat{b}}_{TSLS}=(X^T{P}_{Z}X{)}^{-1}{X}^T{P}_{Z}y,P_Z=Z(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^T$

Если ковариационная матрица случайных ошибок модели пропорциональна единичной, то есть ${\sigma }^{2}I$, то ковариационная матрица этих оценок равна $V_{{\hat{b}}_{TSLS}}={\sigma }^2(X^T{P}_{Z}X{)}^{-1}$

Взвешенный двухшаговый МНК

Если на каждом из двух шагов применить не обычный, а взвешенный МНК с одной и той же весовой матрицей $W$, то получим оценки взвешенного двухшагового МНК (Weighted TSLS, WTSLS):

${\hat{b}}_{WTSLS}=(X^T{P}_{Z}X{)}^{-1}{X}^T{P}_{Z}y,P_Z=WZ(Z^{T}WZ{)}^{-1}W{Z}^T$

Формула ковариационной матрицы аналогична обычному TSLS с учётом формулы для $P_Z$.

Связь с методом инструментальных переменных

Шаблон:Main Двухшаговый МНК называют также обобщённым методом инструментальных переменных (GIVE — Generalized Instrumental Variables Estimator) или просто методом инструментальных переменных. Если количество инструментов z совпадает с количеством исходных переменных (случай точной идентификации), то матрицы $Z^{T}X,X^{T}Z$ являются квадратными. Следовательно

${\hat{b}}_{TSLS}=(X^{T}Z(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Z(Z^{T}Z{)}^{-1}{Z}^{T}y=(Z^{T}X{)}^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T}Z{)}^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z{)}^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X{)}^{-1}{Z}^{T}y$

То есть получаем классическую формулу метода инструментальных переменных ${\hat{b}}_{IV}=(Z^{T}X{)}^{-1}{Z}^{T}y$.

Необходимо также отметить и связь с методом инструментальных переменных в обратном направлении, а именно двухшаговый МНК является частным случаем метода ИП, когда в качестве инструментов используются МНК-оценки факторов на некоторые переменные Z:

${\hat{b}}_{IV}=({\hat{X}}^{T}X{)}^{-1}{\hat{X}}^{T}y=(X^T{P}_{Z}X{)}^{-1}{X}^T{P}_{Z}y$

что совпадает с формулой двухшагового МНК.

Двухшаговый МНК в системах одновременных уравнений

В системах одновременных уравнений двухшаговый МНК применяется для оценки параметров структурных уравнений, поскольку в последних в качестве факторов участвуют эндогенные переменные модели и применение обычного МНК приводит к смещённым и несостоятельным оценкам.

Здесь в качестве инструментов Z обычно выступают экзогенные переменные самой модели. Соответственно процедура оценки заключается в том, что на первом шаге обычным МНК оценивается регрессия эндогенных переменных на все экзогенные переменные системы, а затем эти оценки используют на втором шаге вместо эндогенных переменных правой части структурного уравнения, к которому применяется обычный МНК.

Такой подход позволяет получить состоятельные оценки параметров структурной формы.

См. также

• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Система одновременных уравнений