Диагональный аргумент

Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:

Файл:Diagonal argument 01 svg.svg

Диагональный аргумент Кантора: Каждое множество записывается как последовательность 0 и 1, где 1 на месте $x$ значит, что $x$ является элементом множества. Красным выделена последовательность на диагонали. Последовательность $s$ является дополнением этой последовательности: $s(x)=1-s_x(x)$. Тогда $s$ отличается от всех $s_x$ хотя бы в одном месте (а именно — в месте $x$).

Пусть есть взаимнооднозначное соответствие, которое каждому элементу $x$ множества $X$ ставит в соответствие подмножество $s_x$ множества $X.$ Пусть $d$ будет множеством, состоящим из элементов $x$ таких, что $x\in s_x$ (диагональное множество). Тогда дополнение этого множества $s=\bar{d}$ не может быть ни одним из $s_x.$ А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое).

Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки.