Диада

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, тензорное произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

$A_{ij}=a_i{b}_j,$

В бескоординатной форме

$𝐀=𝐚\otimes 𝐛$, либо просто $𝐚𝐛$

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

$\left[\begin{array}{ccccc}0& \dots & a_1& \dots & 0\\ 0& \dots & a_2& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& \dots & a_n& \dots & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \dots \\ a_n\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{ccccc}0& \dots & 1& \dots & 0\end{array}\right]$

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

$𝐀=a𝐢+b𝐣$

и

$𝐁=c𝐢+d𝐣.$

Тогда тензорное произведение A и B равно

$𝐀\mathbf{\otimes }𝐁=ac𝐢\mathbf{\otimes }𝐢+ad𝐢\mathbf{\otimes }𝐣+bc𝐣\mathbf{\otimes }𝐢+bd𝐣\mathbf{\otimes }𝐣$.

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

$𝐣\mathbf{\otimes }𝐢-𝐢\mathbf{\otimes }𝐣$ -

это оператор вращения плоскости на 90° (против часовой стрелки). Он действует слева от вектора и производит вращение:

$(𝐣\mathbf{\otimes }𝐢-𝐢\mathbf{\otimes }𝐣)\cdot (x𝐢+y𝐣)=x𝐣\mathbf{(}𝐢\cdot 𝐢\mathbf{)}-x𝐢\mathbf{(}𝐣\cdot 𝐢\mathbf{)}+y𝐣\mathbf{(}𝐢\cdot 𝐣\mathbf{)}-y𝐢\mathbf{(}𝐣\cdot 𝐣\mathbf{)}=-y𝐢+x𝐣.$

Использование диад

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга